Page 31 - 《应用声学》2024年第6期

第 43 卷 第 6 期 王晓楠等： 多项式结构恒定束宽波束形成器的高效稀疏化设计 1207

|E{∆d k }| 6 µ d ，k = 0, 1, · · · , K − 1。 则根据 根据上述推导结果，式(10) 能够近似转化为如
Cauchy-Schwarz不等式 [15] 得到： 下的凸优化问题：
T
|w E{∆g(f, θ ML , ϕ d )}| 6 µ g ||w|| 2 , (14) T
min max |w [g(f, θ ML , ϕ d ) − g(f 0 , θ ML , ϕ d )]|
w f,θ ML ,ϕ d
其中， KNJ
∑
{ (l)
{ 2N 2 } 2 + 2µ g ||w|| 2 + δ b |w i |, (21a)
¯
¯
µ g = KJ max [1 − (ϕ d ) ]/[1 − (ϕ d ) ] [(1+µ a ) i
ϕ d ∈Φ i=1
1/2 s.t. w i = 0, ∀i ∈ D , (21b)
} (l)
− 2(1 + µ a ) cos(µ φ + 2πf max µ d /c) + 1]
T
w Re{g(f 0 , θ ML =ϕ d , ϕ d )}>1+µ g ||w|| 2 , (21c)
为失配误差均值的最大扇形边界 [5] ，f max 为频率最
T
大值，|| · || 2 为 ℓ 2 范数。利用式 (14)，式 (13) 可进一 max |w g(f, θ SL , ϕ d )| + µ g ||w|| 2 6 η. (21d)
f,θ SL ,ϕ d
步转化为
同理，将式 (15)、式 (18) 和式 (20) 代入式 (11) 能够
T
|E{w [ˆ g(f, θ ML , ϕ d ) − ˆ g(f 0 , θ ML , ϕ d )]}| 得到对应的凸近似表示。
T
6 |w [g(f, θ ML , ϕ d ) − g(f 0 , θ ML , ϕ d )]|
3.2 ADMM求解算法的推导
+ 2µ g ||w|| 2 . (15)
由于式 (10) 与式 (11) 的问题构造相似，因此本
根据式(12)，同样可求得式(9b)的下界： 节仅讨论如何求解式 (10)，即相应的凸优化问题
T 式 (21)。
|E{w ˆ g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )}|
为了便于分析，分别对变量f、θ ML 、θ SL 、ϕ d 的取
T

> |w g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )|
值范围做离散化处理，即：f h ∈ Ω，h = 1, 2, · · · , H；

T
− |w E{∆g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )}| , (16)

ˆ
θ ML,ˆq ∈ Θ ML ， ˆq = 1, 2, · · · , Q；θ SL,¯q ∈ Θ SL ，
T T
式中，当 w g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )、w E{∆g(f 0 , θ ML ¯
¯ q = 1, 2, · · · , Q；ϕ d,r ∈ Φ，r = 1, 2, · · · , R。定义导向
= ϕ d , ϕ d )} 两项异号或 w 取零解时，等号成立。假
矢量 g f,m = g(f h , θ ML,ˆq , ϕ d,r ) − g(f 0 , θ ML,ˆq , ϕ d,r )，
设 ∆g(f, θ, ϕ d ) 为一较小的导向矢量误差项，即
ˆ
m = 1, 2, · · · , M，M = H × Q × R；g SL,s =
T
T
|w g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )| > |w E{∆g(f 0 , θ ML =
¯
g(f h , θ SL,¯q , ϕ d,r )，s = 1, 2, · · · , S，S = H × Q × R；
ϕ d , ϕ d )}|，则将式 (14) 代入式 (16)，原始约束问题
g 0,r = g(f 0 , θ ML = ϕ d,r , ϕ d,r )，r = 1, 2, · · · , R。
式 (9b)可以转化为
注意到，第 l 次迭代过程中，根据第 l − 1 次稀
T
|w g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )| − µ g ||w|| 2 > 1. (17) 疏化结果，已得到 w 的零抽头索引 D (l) 及加权矢量
(l)
由 于 对 权 值 引 入 相 位 旋 转 并 不 影 响 原 始 约 束 b ，因此根据式 (21b) 约束条件能够确定零抽头的
优化问题的解 [14] ，因此可通过旋转相位直至满足 位置，只需更新剩余位置的非零抽头即可。记 X 为
T T w 的全部位置集合，则第 l 次迭代的非零抽头位置
Re{w g(f 0 , θ ML , ϕ d )}>0 且 Im{w g(f 0 , θ ML , ϕ d )}
¯ (l)
(l)
¯ (l)
= 0，其中 Re{·} 为取实运算，Im{·}为取虚运算。相 集合可表示为D = X − D 。记U 为集合D 中
应地，式 (17) 可以进一步转化为如下的凸约束的 的元素个数，U 6 KNJ，则需要更新的抽头矢量表
形式： 示如下：
T
w Re{g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )} > 1 + µ g ||w|| 2 . (18) ˜ w = {w i |∀i ∈ D } ∈ R . (22)
¯ (l)
U
类似式 (15) 的推导过程，同理可对式 (9c) 的旁
相应地， ˜ w 的加权系数需重新表示为
瓣波束响应项做如下的松弛处理：
(l)
˜ (l) = b , ∀i ∈ D , (23)
¯ (l)
b
T i i
|E{w ˆ g(f, θ SL , ϕ d )}|
˜
T
6 |w g(f, θ SL , ϕ d )| + µ g ||w|| 2 . (19) 式 (23) 中，b (l) 表示每次迭代时各非零抽头被赋予
i
的权重，通过迭代过程中保留权重较大的抽头，从而
则式(9c)可以转化为
提高加权系数优化的稀疏度。同理，更新 ˜ w 所需要
T
max |w g(f, θ SL , ϕ d )| + µ g ||w|| 2 6 η. (20) 的各导向矢量分别表示为
f,θ SL ,ϕ d