Page 35 - 《应用声学》2024年第6期

第 43 卷 第 6 期 王晓楠等： 多项式结构恒定束宽波束形成器的高效稀疏化设计 1211

ξ (t+1) = ξ (t) + ρ(x (t+1) − G T ˜ w (t+1) ), r = 1, 2, · · · , R, (59e)
m m m f,m
˜
m = 1, 2, · · · , M, (59c) σ (t+1) = σ (t) + ρ(Y (t+1) − b ˜ w (t+1) ), (59f)
ς (t+1) = ς (t) + ρ(y (t+1) − G T ˜ w (t+1) ), γ (t+1) = γ (t) + ρ(v (t+1) − ˜ w (t+1) ). (59g)
s s s SL,s
s = 1, 2, · · · , S, (59d) 交替更新步骤 1∼ 步骤 9 中的各变量，并设置
(t+1) (t) (t+1) T (t+1)
κ r = κ r + ρ(z r − G 0,r ˜ w ), ADMM迭代停止条件为

(α (t+1) + 2µ g ||v (t+1) || 2 + δ||Y (t+1) || 1 ) − (α (t) + 2µ g ||v (t) || 2 + δ||Y (t) || 1 )
6 ϑ, (60)
α (t) + 2µ g ||v (t) || 2 + δ||Y (t) || 1
或达到最大迭代次数T，其中ϑ为设定的收敛控制参数。

综上，针对式(21)优化问题的ADMM求解过程如表1所示。
表 1 优化问题式 (21) 的 ADMM 求解步骤
Table 1 ADMM solution steps for the optimization problem (21)

输入： 零抽头索引 D (l) ，加权矢量 b (l) ，导向矢量 g f ，g SL ，g 0 。
˜
¯ (l)
初始化： 1. 计算非零位置 D = X − D (l) ，根据式 (26)∼ 式 (29) 更新加权矩阵 b 与导向矩阵 G f 、G SL 、G 0 ；
2. 步进值 ρ，收敛参数 ϑ，稀疏系数 δ，旁瓣响应约束 η，最大迭代次数 T；
3. t = 0，权值变量 ˜ w (0) ，辅助变量 {α (0) , β (0) , x (0) , y (0) , z (0) , v (0) , Y (0) , τ 1 (0) , τ 2 (0) }，
拉格朗日乘子变量 {λ (0) , λ (0) , ξ (0) , ς (0) , κ (0) , σ (0) , γ (0) }。
1 2
迭代过程： 1. 根据式 (35) 与式 (36) 求得A A A 和B B B (t) ，并通过式 (37) 更新 ˜ w (t+1) ；
(t+1)
2. 根据式 (40) 及式 (41) 分别得到 α (t+1) 与 x m (m = 1, 2, · · · , M)；
3. 通过式 (44) 和式 (45) 分别求得最优解 β (t+1) 与 y s (t+1) (s = 1, 2, · · · , S)；
4. 利用式 (48) 计算得到 z (t+1) ；
5. 根据式 (51) 得到软阈值解 Y (t+1) ；
ˆ
6. 通过附录 A 中的式 (63) 得到 Υ 的表达式，进而利用式 (54) 求得解 v (t+1) ；
(t+1)
7. 经式 (56) 得到辅助变量 τ ；
1
(t+1)
8. 经式 (58) 求得辅助变量 τ ；
2
(t+1) (t+1) (t+1) (t+1) (t+1) (t+1) (t+1)
9. 利用式 (59a)∼ 式 (59g) 更新拉格朗日乘子 {λ , λ , ξ , ς , κ , σ , γ }；
1 2
10. t = t + 1；
11. 重复执行 1–10 步，直至满足式 (60) 或 t = T 时停止迭代。
输出： 权值最优解 ˜ w 。
∗
需要注意的是，本文所提稀疏算法由式 (10) 与 元后接N = 5 个FIR 滤波器，每个滤波器有 J = 30
式(11)两部分优化问题构成。对于式(10)的凸近似 个抽头。阵元间距 d = 0.04 m，声速 c = 340 m/s，
问题，表1 给出了相应的求解步骤。而使用 ADMM 信号采样频率 f s = 8000 Hz。设各阵元的增益、
求解式 (11) 的凸近似问题时无需考虑ℓ 1 范数项，因 相位、 位置误差范围分别为 ∆a k ∈ [−0.1, 0.1]、
此仅需去掉表1 中变量 b、Y 、σ 的计算部分即可，此 ∆φ k ∈ [−5 , 5 ] 及 ∆d k ∈ [−3, 3] mm；误差均值
◦
◦
处不再赘述。 上界分别为µ a = 1 × 10 −6 ，µ φ = 8.73 × 10 −7 ，µ d =
3 × 10 −8 。设频率范围 Ω = [1000, 3500] Hz，参考
4 仿真实验
频率 f 0 = 3000 Hz，调向角度范围 Φ = [40 , 140 ]，
◦
◦
4.1 波束形成性能分析 主瓣宽度与过渡带宽度均为 20 ；取频率范围 Ω，
◦
本节将针对所提稀疏算法、现有稀疏算法 [8] 与 调向角度范围 Φ，主瓣范围 Θ ML ，旁瓣范围 Θ SL
ˆ
非鲁棒算法进行对比分析。这里，非鲁棒算法指的 的离散点数分别为 H = 51、R = 6、Q = 11、
¯
是设计中不考虑传声器失配误差影响，即在式 (9) Q = 36。对式 (10) 的迭代次数 L = 5，加权矢量常
中采用理想导向矢量计算权值。 参ε 0 = 1 × 10 −6 ，稀疏系数δ = 1 × 10 −6 ，稀疏门限
考虑由 K = 10 阵元组成的均匀线阵，每个阵 值 ε D = 1 × 10 −6 ，ADMM 最大迭代次数 T = 300，