Page 35 - 《应用声学》2024年第6期
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第 43 卷 第 6 期          王晓楠等: 多项式结构恒定束宽波束形成器的高效稀疏化设计                                         1211


                 ξ (t+1)  = ξ (t)  + ρ(x (t+1)  − G T  ˜ w (t+1) ),        r = 1, 2, · · · , R,         (59e)
                  m       m       m       f,m
                                                                                            ˜
                         m = 1, 2, · · · , M,         (59c)        σ (t+1)  = σ (t)  + ρ(Y  (t+1)  − b ˜ w (t+1) ),  (59f)
                 ς (t+1)  = ς (t)  + ρ(y (t+1)  − G T  ˜ w (t+1) ),  γ (t+1)  = γ (t)  + ρ(v (t+1)  − ˜ w (t+1) ).  (59g)
                  s       s      s        SL,s
                         s = 1, 2, · · · , S,         (59d)        交替更新步骤 1∼ 步骤 9 中的各变量,并设置
                  (t+1)   (t)    (t+1)    T   (t+1)
                κ r   = κ r  + ρ(z r  − G 0,r  ˜ w  ),         ADMM迭代停止条件为


                          (α (t+1)  + 2µ g ||v (t+1) || 2 + δ||Y  (t+1) || 1 ) − (α (t)  + 2µ g ||v (t) || 2 + δ||Y  (t) || 1 )
                                                                                            6 ϑ,         (60)
                                             α (t)  + 2µ g ||v (t) || 2 + δ||Y  (t) || 1
             或达到最大迭代次数T,其中ϑ为设定的收敛控制参数。

                 综上,针对式(21)优化问题的ADMM求解过程如表1所示。
                                          表 1   优化问题式 (21) 的 ADMM 求解步骤
                             Table 1 ADMM solution steps for the optimization problem (21)

                        输入: 零抽头索引 D    (l) ,加权矢量 b (l) ,导向矢量 g f ,g SL ,g 0 。
                                                                               ˜
                                         ¯ (l)
                      初始化: 1. 计算非零位置 D       = X − D (l) ,根据式 (26)∼ 式 (29) 更新加权矩阵 b 与导向矩阵 G f 、G SL 、G 0 ;
                             2. 步进值 ρ,收敛参数 ϑ,稀疏系数 δ,旁瓣响应约束 η,最大迭代次数 T;
                             3. t = 0,权值变量 ˜ w (0) ,辅助变量 {α (0) , β  (0) , x (0) , y  (0) , z  (0) , v (0) , Y  (0) , τ 1 (0) , τ 2 (0) },
                               拉格朗日乘子变量 {λ     (0) , λ (0) , ξ (0) , ς (0) , κ (0) , σ (0) , γ (0) }。
                                               1  2
                     迭代过程: 1. 根据式 (35) 与式 (36) 求得A A A 和B B B (t) ,并通过式 (37) 更新 ˜ w  (t+1) ;
                                                             (t+1)
                             2. 根据式 (40) 及式 (41) 分别得到 α (t+1)  与 x m  (m = 1, 2, · · · , M);
                             3. 通过式 (44) 和式 (45) 分别求得最优解 β (t+1)  与 y s (t+1) (s = 1, 2, · · · , S);
                             4. 利用式 (48) 计算得到 z (t+1) ;
                             5. 根据式 (51) 得到软阈值解 Y  (t+1) ;
                                                    ˆ
                             6. 通过附录 A 中的式 (63) 得到 Υ 的表达式,进而利用式 (54) 求得解 v    (t+1) ;
                                                 (t+1)
                             7. 经式 (56) 得到辅助变量 τ     ;
                                                 1
                                                 (t+1)
                             8. 经式 (58) 求得辅助变量 τ     ;
                                                 2
                                                               (t+1)  (t+1)  (t+1)  (t+1)  (t+1)  (t+1)  (t+1)
                             9. 利用式 (59a)∼ 式 (59g) 更新拉格朗日乘子 {λ     , λ  , ξ   , ς  , κ   , σ  , γ   };
                                                               1     2
                             10. t = t + 1;
                             11. 重复执行 1–10 步,直至满足式 (60) 或 t = T 时停止迭代。
                        输出: 权值最优解 ˜ w 。
                                       ∗
                 需要注意的是,本文所提稀疏算法由式 (10) 与                      元后接N = 5 个FIR 滤波器,每个滤波器有 J = 30
             式(11)两部分优化问题构成。对于式(10)的凸近似                        个抽头。阵元间距 d = 0.04 m,声速 c = 340 m/s,
             问题,表1 给出了相应的求解步骤。而使用 ADMM                         信号采样频率 f s = 8000 Hz。设各阵元的增益、
             求解式 (11) 的凸近似问题时无需考虑ℓ 1 范数项,因                     相位、 位置误差范围分别为 ∆a k ∈ [−0.1, 0.1]、
             此仅需去掉表1 中变量 b、Y 、σ 的计算部分即可,此                      ∆φ k ∈ [−5 , 5 ] 及 ∆d k ∈ [−3, 3] mm;误差均值
                                                                          ◦
                                                                             ◦
             处不再赘述。                                            上界分别为µ a = 1 × 10    −6 ,µ φ = 8.73 × 10 −7 ,µ d =
                                                               3 × 10 −8 。设频率范围 Ω = [1000, 3500] Hz,参考
             4 仿真实验
                                                               频率 f 0 = 3000 Hz,调向角度范围 Φ = [40 , 140 ],
                                                                                                           ◦
                                                                                                      ◦
             4.1 波束形成性能分析                                      主瓣宽度与过渡带宽度均为 20 ;取频率范围 Ω,
                                                                                            ◦
                 本节将针对所提稀疏算法、现有稀疏算法                   [8]  与   调向角度范围 Φ,主瓣范围 Θ ML ,旁瓣范围 Θ SL
                                                                                                     ˆ
             非鲁棒算法进行对比分析。这里,非鲁棒算法指的                            的离散点数分别为 H = 51、R = 6、Q = 11、
                                                                ¯
             是设计中不考虑传声器失配误差影响,即在式 (9)                          Q = 36。对式 (10) 的迭代次数 L = 5,加权矢量常
             中采用理想导向矢量计算权值。                                    参ε 0 = 1 × 10 −6 ,稀疏系数δ = 1 × 10  −6 ,稀疏门限
                 考虑由 K = 10 阵元组成的均匀线阵,每个阵                      值 ε D = 1 × 10 −6 ,ADMM 最大迭代次数 T = 300,
   30   31   32   33   34   35   36   37   38   39   40