Page 27 - 《应用声学》2025年第1期

第 44 卷 第 1 期 张楠等： 检测声学成像原理与技术综述 23

∫ π ∫
1 ∞ 1 变换数据集。在此基础上，对数据集做二维傅里叶
ˆ
f (r, φ) =
2π 2 0 −∞ r cos (φ − θ) − s 逆变换即可直接得到重建图像。然而，由于二维傅
∂p (s, θ) 里叶变换需要在直角坐标系下进行，因此需要采用
× dsdθ, (14)
∂s
表示可以基于不同方向上的投影值，对原函数进行 合适的二维插值方法将数据从极坐标系下进行转
换。这也导致傅里叶变换重建法存在计算量大、耗
重建。其本质就是层析成像的图像反演过程。在此
基础上，中心切片定理认为：函数 f(x, y) 在某一方 时长的问题，并会在一定程度上降低图像重建的精
向上投影的一维傅里叶变换是函数二维傅里叶变 度 [61] 。
换在该方向上的一个切片 [65−66] (见图 11(b))。这 FBP 是 CT 技术中一种应用广泛的图像重建
相应地建立了二维傅里叶变换和 Radon 变换之间 方法 [68] 。图 12 给出了一个 FBP 的检测案例。由于
的关系。由于实际检测时只能以离散的角度对投影 常规的直接反投影算法在重建图像时会引入星状
数据进行采集，无法直接对投影数据做 Radon 反变 伪迹、导致结果失真，因此 FBP 会先对投影数据进
换以重建图像，因此需要基于上述定理构造相应的 行滤波，再进行反投影重建 [69] 。具体而言，对于某
图像重建算法。 一角度下采集到的投影数据，首先将其通过一维傅
里叶变换变换至频域，并与滤波函数相乘，随后再进
2.2.2 透射层析直接反演成像
行反变换得到滤波后的结果。在此基础上，按照常
透射层析成像方法可以分为变换重建法 (又称
规的反投影算法，将检测区域离散为像素点，并将处
为解析重建法) 和迭代重建法 (又称为级数展开法)
理后的结果均匀地赋给该角度下射线所经过的每
两大类。其中，变换重建法属于直接反演方法。它先
一点以作为该点的密度值 (即反投影) [64] 。最后，对
对投影数据在连续域上进行解析处理，得到 Radon
逆变换或与其等价的表达式的变换结果，再通过将 不同角度下的投影数据按照上述的反投影过程进
其离散化以利用计算机实现图像的重建。变换重建 行处理，并将所得的密度值在各点处进行累加，即
法适用于射线数量充足、分布均匀且路径为直线的 可获得最终的图像重建结果。由于数据在频域上与
情况，典型方法包括傅里叶变换重建算法和滤波反 滤波函数相乘等于双方在空域上做卷积 [70] ，因此滤
投影 (Filtered back-projection, FBP) 重建算法等 波环节也可以在不进行傅里叶变换的情况下直接
技术。 通过卷积实现。相应地，FBP 又可称为卷积反投影
傅里叶变换重建法以中心切片定理为基础。检 (Convolution back-projection, CBP) [66] 。滤波函数
测时，首先通过对采集到的不同角度的投影数据 的设计和选取是方法实现的关键 [71] 。FBP 的成像
做一维傅里叶变换构造极坐标系下的二维傅里叶 质量高、速度快，但要求数据采集必须完整且均匀。

Τ10 5
10 14
10000
9
12 9000
8
8000
7 10
7000
6
8 6000
5
6 5000
4
4000
3 4 3000
2
2 2000
1 1000
0
(a) Ԕݽവی (b) ᄰଌԦઆॖ (c) FBP
图 12 超声 FBP 成像 [72]
Fig. 12 FBP imaging using ultrasonic waves [72]
2.2.3 透射层析间接反演成像 解代数方程组，重建各像素与投影之间的关系，属于
相比于变换重建法，迭代重建法在检测之初就 间接反演类型。该方法认为声束射线具备了一定的
将检测区域离散为网格 [63] ，通过采用迭代的方式求 宽度，可以覆盖路径两侧的部分面积。假设测量时