Page 29 - 《应用声学》2025年第1期

第 44 卷 第 1 期 张楠等： 检测声学成像原理与技术综述 25

下的傅里叶衍射投影定理。该定理分为基于前向散 散射层析的另一种实现方法是间接反演，即通
射场数据和后向散射场数据两种类型，其原理图如 过构造非线性目标函数，以迭代的方式将非线性问
图13所示 [77] 。衍射投影定理表明，当平面波入射到 题转化为目标函数的最优化问题进行求解。该类
二维空间中的目标物体时，在某方向上测到的前向 型方法在实现前，常采用矩量法 (Moment method)
散射场的一维傅里叶变换，是物体分布函数的二维 将与声场有关的积分方程离散为矩阵方程进行处
傅里叶变换在频域中半圆弧上的值 [64] 。中心切片 理 [79] 。相比于Born近似和Rytov近似，矩量法是建
定理则可以看成是衍射投影定理在声波波长极小 立在对散射场精确描述的基础之上，因此适合于强
情况下的一个特例 [78] 。衍射投影定理同样只在弱 散射条件下的逆散射问题。下面分别对直接反演和
散射条件下成立。 间接反演这两大类方法进行说明。

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图 13 傅里叶衍射投影定理的原理 [77]
Fig. 13 Principles of the Fourier diffraction projection theorem [77]
2.3.2 散射层析直接反演成像 法，另一种非迭代式的线性化方法 ——线性采样法

与透射层析直接反演方法 (变换重建法) 类似， (Linear sampling method, LSM) 可以在无需弱散
基于弱散射条件下的 Born 近似和衍射投影定理， 射假设和散射体先验信息的情况下反演散射体参
同样存在两种典型的、非迭代式的图像重建算法 数 [81] 。该方法的基本思想是将求解目标从非线性
的逆散射问题转化为线性的第一类 Fredholm 积分
——直接傅里叶逆变换和滤波反向传播算法。直
方程 (频域远场方程)，利用该方程的解会在采样点
接傅里叶逆变换在应用时，先环绕目标检测区域以
靠近散射体边界时发生剧烈变化的特性，确定散射
等角度间隔的方式发射超声，并采集对应角度的前
体的轮廓 [82−83] 。由于逆散射问题的不适定性 (即
向散射波，再通过傅里叶逆变换重建检测区域的图
解不稳定) 在问题线性化后依然存在，因此求解过
像。由于根据衍射投影定理获得的频率点在频域上
程中通常需要借助一定的正则化方法进行缓解，即
呈圆弧状分布，因此仍需采用对应的插值算法将数
通过在目标函数中加入正则项使得病态问题转化
据点从圆弧网格点上转换到更适合图像重建的矩
为良态问题。常用的正则化方法包括 Tikhonov 正
形网格点上 [64] 。滤波反向传播算法的思想与 FBP
则化和截断奇异值分解 (Truncated singular value
算法相同，但是在滤波时却需要进行大量的傅里
decomposition, TSVD) 正则化等，需要根据具体的
叶变换操作 [1] ，其计算耗时长，精度相比直接傅里
不适定性问题进行选择和设计。
叶逆变换也并没有优势。以上两种基于前向散射
数据的层析成像方法又可以称为透射型衍射层析 2.3.3 散射层析间接反演成像
(Diffraction tomography)。与之相对地，还存在基 对于非线性逆散射问题，构造目标函数并
于后向散射数据的反射型衍射层析方法 [78,80] 。 采用迭代的方式进行间接反演是另一类常用的
相比直接傅里叶逆变换和滤波反向传播算 处理方式。典型方法包括 Born 迭代法 (Born itera-