Page 28 - 《应用声学》2025年第1期
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             使用了 I 条投影，检测区域共离散为 J 个像素区域，                       由于每个像素更新后的结果是各条射线的共同贡
             则对应的代数方程组为           [61,73]                      献，因此数据中所含的部分噪声会在叠加时得到平
                                                               均和抑制。相比于 ART，SIRT 的迭代收敛速度较
                             AX + ε = B,               (15)
                                                               慢，但拥有更强的抗噪声能力。
             式 (15) 中：A 为只与数据采集方式有关的、维度为
             I × J 的投影矩阵，其元素a ij 为第i条射线在第j 个                   2.3  环绕阵列散射层析成像
             像素范围内的长度；X 为待重建的、维度为J × 1的                        2.3.1 散射层析检测原理
             图像向量，与函数 f(x, y) 有关，由各像素的值组成；                         超声 CT的射线层析经典算法沿用自X射线层
             B 为采集获得的投影向量，与p(s, θ)有关，由各射线                      析的成像方法。X 射线在结构中难以被反射，因此
             的投影数据 b i 组成；ε为误差向量，对应了各投影数                       只能采用透射模式进行检测              [1] 。相比之下，超声波
             据中的误差。对于式 (15) 给出的方程组，理论上可                        除了透射，还存在反射、折射等现象。当声波波长远
             以通过消元法等方法直接求解。然而，投影矩阵 A                           大于散射体(如待检测缺陷)尺度时，还会发生衍射。
             的维度和非零元素个数均十分庞大，直接求解需要                            在此情况下，为获得理想的图像重建结果，就必须基
             消耗大量的计算时间和存储空间。因此，通常采用                            于波动声学进行对重建方法进行考量。
             迭代的方式，从一组图像向量的初值出发，基于某种                               理论上，基于测得的散射场数据对散射体参数
             关于投影值的优化准则，对真实解进行迭代和逼近。                           进行反演属于逆散射问题。该问题有两个固有的性
             迭代重建法在投影射线缺失、噪声较大或射线弯                             质 [75] ：一是非线性 (nonlinearity)，即由于声波在经
             曲的情况下均具有较好重建效果，且能在迭代过程                            过散射体时的多重散射现象，散射场测量数据与散
             中按照测量环境 (先验信息) 添加相关的约束条件                          射体参数之间的映射关系不是线性的；二是不适定

             以提升收敛的速度。典型方法包括代数重建法 (Al-                         性 (ill-posedness，又称为病态性)，即逆散射问题的
             gebraic reconstruction techniques, ART) [70]  和联合  解并不稳定，散射场测量数据的细微偏差可能会引
             迭代重建法 (Simultaneous iterative reconstruction      起参数反演结果的巨大波动。以上两个性质使得逆
             techniques, SIRT) [74]  等。
                                                               散射问题难以求解。
                 ART 在检测时，首先对图像向量 X 赋予初值
                                                                   对于基于逆散射问题的散射层析，其实现方法
             X 0 。随后，从第一条投影射线出发按照式(16) 对当
                                                               可以按照对非线性问题的处理方式分为直接反演
             前迭代次数 k 下的图像向量 X k 进行更新，以使该
                                                               和间接反演两种类型。直接反演指的是在特定条
             条射线所对应的子方程A i X k+1 = b i 成立，
                                                               件下先将非线性问题线性化，再通过非迭代的方式
                                     b i − A i X k  T          直接反演散射体参数。典型的线性化方法包括一
                     X k+1 = X k + λ k         A ,     (16)
                                                i
                                           2
                                       ∥A i ∥                                          [76]
                                                               阶 Born 近似和 Rytov 近似        。它们均只在弱散射
             式 (16) 中：λ i 为考虑噪声所引入的松弛因子，以保
                                                               条件下成立，相应地对多重散射现象进行了忽略。
             证迭代收敛；A i 为第 i 条射线所对应的、投影矩阵
                                                               Born近似认为，由于声场全场的幅度等于入射场幅
             A 的第 i 行。当循环完所有射线、完成第一轮迭代
                                                               度和散射场幅度的叠加，而散射场又可以通过全场
             后，利用基于式 (15) 的迭代判据 (如计算所得投影
                                                               进行计算，因此可以用入射场对声场全场进行近似，
             数据与测量数据的接近程度) 对是否终止迭代进行
                                                               从而获得对散射场和全场的逼近结果                  [60] 。Rytov近
             判定。否则，开始下一轮迭代，直至满足终止条件。
                                                               似认为，既然声场全场可以基于复相位形式进行描
             ART每次只使用一条射线进行迭代。各射线投影数
                                                               述，若全场的复相位等于入射场相位和散射场相位
             据中的误差会在迭代过程中逐渐累积，影响成像质
                                                               的叠加，则可以通过对散射场相位进行近似，获得对
             量。为了降低成像结果对数据噪声的敏感性，SIRT
                                                               散射场和全场的近似表达             [1] 。Born 近似要求散射
             每次联合所有 I 条射线对图像向量进行更新。其迭
                                                               场幅度较小，因此散射体尺寸也需尽量小，而Rytov
             代过程可以表示为         [73]
                                                               近似要求散射场相位变化较小，并未对尺寸有限制，
                                  I
                                 ∑               T             因此前者适用于低频(波长较大)，后者更适合高频。
                X k+1 = X k + λ k   (b i − A i X k ) A i
                                 i=1                               与透射层析中的傅里叶中心切片定理 (投影定
                                 (  T      T     )
                      = X k + λ k A B − A AX k .       (17)    理)对应，应用Born近似，可以推导出考虑衍射情况
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