Page 119 - 《应用声学》2025年第2期

第 44 卷 第 2 期 王子韬等： 波纹管内声波传递特性 379

[
1.2 声波传递特性 p = ¯p e −jk + κx + R a e jk − κx ] e jωt ,
′
沿x轴正负方向传播的扰动量具有如下形式： ¯ p [ −jk + κx jk − κx ] jωt
′
u = e − R a e e . (16)
ρ 0 c 0
p = ¯p e j(ωt∓κkx) ,
′
± 1.3 壁面导纳
u = ¯u e j(ωt∓κkx) , 取腔体内介质分析，如图2所示。
′
±
⟨v ⟩ = ⟨¯v⟩ e j(ωt∓κkx) ,
′
±
¯
⟨ ⟩ j(ωt∓κkx)
⟨ξ ⟩ = ξ e , (7)
′
±
ᑿЯืʹ
其中，κ 是波数，k 是待求解量，⟨ξ ⟩ 是流体质点沿径
′
向的平均位移，满足关系 य़Քͯረ ξ
˟ืU
( )
′
D ⟨ξ ⟩ ∂ ∂
′
⟨v ⟩ = = + U ⟨ξ ⟩ . (8) 图 2 波纹腔体局部流场示意图
′
Dt ∂t ∂x
Fig. 2 Local flow field of the corrugated cavity
首先考虑沿 x 轴正向传递的波，将扰动量代入
声波传递是绝热过程，对于一般可压缩流体，
方程，得到频域形式的表达式：
绝热弹性模量B 定义为
[ ]
2
κ 2 (1 − k + Ma) − k 2 · ¯p ( dp )
+
B = −V 0 , (17)
P dV Q
= jρ 0 c 0 κ (1 − k + Ma) · ⟨¯v⟩ , (9)
A 其中，V 表示腔体容积，S 表示腔体径向截面积。
¯
⟨¯v⟩ = jc 0 κ (1 − k + Ma) ⟨ξ⟩. (10) 根据位移与体积关系可得
壁面位置轴向速度等于零，因此壁面位置径向 dV = −S · dξ. (18)
速度的幅值⟨v w ⟩可以表示为 代入一般解形式得
1 S
¯
⟨v w ⟩ = ⟨¯v⟩ . (11) ¯ p = B · · ξ. (19)
1 − k + Ma V 0
引入平均导纳的概念： 又因为
l c
⟨v w ⟩ = · v w , (20)
⟨β w ⟩ = ρ 0 c 0 ⟨v w ⟩/¯p. (12) p c
¯
¯
将平均导纳代入频域声波方程得 ⟨ξ⟩ = l c · ξ, (21)
p c
P
2 2 2 2
¯
κ [(1−k + Ma) −k ]=jκ⟨β w ⟩ (1−k + Ma) . (13) ⟨v w ⟩ = jc 0 κ⟨ξ⟩, (22)
+
A
求解式 (13) 关于 k + 的一元二次方程，得到正 所以
数解为 v w = jc 0 κξ. (23)
¯
√
⟨β w ⟩ P
1 − j 代入平均导纳定义，得波纹腔体位置平均
κ A
k + = √ . (14) 导纳为
⟨β w ⟩ P
1 + Ma 1 − j v w 2 V 0 1 (24)
κ A ⟨β w ⟩ = ρ 0 c 0 = jρ 0 c κ .
0
c
¯ p S B
对于沿 x 轴负方向传递的波，通过相似的过 对于理想气体来说，绝热过程满足方程：
程可得
p = ρRT, (25)
√
⟨β w ⟩ P
1 − j pV γ = const. (26)
κ A
k − = √ . (15)
⟨β w ⟩ P 因此气体的弹性模量可以表示为
1 − Ma 1 − j
κ A
B = γp. (27)
因此波纹管内声波传递方程的一般解可以表
又因为
达为如下形式，其中 R a 表示反射波与入射波幅值
2
之比： c = γRT 0 , (28)
0