Page 198 - 《应用声学》2025年第2期

458 2025 年 3 月

由此声呐图像反射图方程为 反射图方程的黏性解可以总结成如图 6 所示 4
( 2 ) 个步骤，具体如下。
ρ A B |∇z|
I(x, y) = E 0 √ + 2 . (12) (1) 初始化：给定图像边界点高度值，这些值在
π 2 1 + |∇z|
1 + |∇z|
迭代过程中保持不变；将图像内部赋予一个较大值，
将式(12)整理得 这些点的值在迭代过程中得到更新。
2 ρ ( √ 2 (2) 交替更新：在迭代过程中，使用公式 (18) 对
I(x, y)(1 + |∇z| ) − E 0 A 1 + |∇z|
π Z 进行更新。更新过程采用 Gauss-Seidel 方法，从
)
2
+ B |∇z| = 0. (13)
2
以下 4 个方向进行： 1 ⃝ i = 0 : m, j = 0 : n; ⃝
显然，式 (13) 是一个一阶偏微分方程，因此可 i = 0 : m, j = n : 0; ⃝ i = m : 0, j = n : 0;
3
k
以转换成Hamilton-Jacobi方程： 4 ⃝ i = m : 0, j = 0 : n; Z k+1 < Z i,j 时，更新
i,j
k+1
Z i,j = Z i,j 。
H(x, y, p, q)
(3) 边界条件：采用文献[13]提出的边界约束方
√
(
ρ
2 2
= I(x, y)(1 + |∇z| ) − E 0 A 1 + |∇z| 法，更新边界点值。
π
)
2 k+1 k
+ B |∇z| . (14) z 1,j = min(max(2z 2,j − z 3,j , z 3,j ), z 1,j ),
k+1
k
考虑边界条件后，式(14) 可以得到相应的静态 z m,j = min(max(2z m−1,j − z m−2,j , z m−2,j ), z m,j ),
k
k+1
Hamilton-Jacobi方程： z m,j = min(max(2z m−1,j − z m−2,j , z m−2,j ), z m,j ),
z k+1 = min(max(2z i,n−1 − z i,n−2 , z i,n−2 ), z k i,n ).
H(x, y, p, q) = 0, z(x, y) = Φ(x, y), (15) i,n
(19)
其中，Φ(x, y) 是定义在 ∂Ω 上的实连续函数，z 是需 k+1 k
(4) 收敛性验证：当 ∥Z − Z ∥ L < ε 时，算
1
要恢复的目标高度。
法收敛，ε > 0是收敛阈值。
2.2.2 基于LF扫描算法求解反射图方程
ա
对于2-D Lax-Friedrichs Hamilton 函数有 ௧
old
new
Ѻݽӑ ᤖ̽ ᣸ႍ ||Z i֒j ֓ Z i֒j || L ε ᤖ̽

ఞழ ጞౌ ፇౌ
+
+
−
−
H(p , p ; q , q )
p + p q + q p − p
( − + − + ) + − 图 6 LF 扫描算法流程
= H , − σ x
2 2 2 Fig. 6 Lax-Friedchs sweeping algorithmic flow
+
q − q −
− σ y , (16) 2.2.3 基于MLF扫描算法求解反射图方程
2
+
其中，p 、p 和 q 、q 分别表示 p 和q 的后向、前向 该方法的整体流程与图 6 相似，但对数据的初
+
−
−
差分，σ x 和σ y 是人工黏性因子，它们满足： 始化进行了改进，如图 7 所示。图 8 是基于 LF 扫描
改进算法的侧扫图像恢复结果对比。基于该方法的
+
p − = (z i,j − z i−1,j )/2, p = (z i+1,j − z i,j )/2,
i,j i,j
求解步骤如下。
q − = (z i,j − z i,j−1 )/2, q + = (z i,j+1 − z i,j )/2,
i,j i,j (1) 初始化：将分辨率较低一级 (粗分辨率) 的

∂H(p, q) ∂H(p, q)
σ x > max , σ y > max . 迭代结果作为下一级的初始化，当处理与全分辨率
∂p ∂q

相对应时，该过程将结束。初始数据分辨率的大小
(17)
为原始分辨率的1/2 n−1 ，n为级数。
将式(17)代入式(16)，得到z 的迭代公式： (2) 交替更新：在迭代过程中，使用公式 (18)
k+1 对 Z 进行更新。更新过程采用 Gauss-Seidel 方法，
z =
i,j
[ ( )
2
1 z i+1,j − z i−1,j z i,j+1 − z i,j−1 从以下 4 个方向进行：1 ⃝ i = 0: m, j = 0 : n; ⃝
0 − H ,
3
σ x + σ y 2 2 i = 0 : m, j = n : 0; ⃝ i = m : 0, j = n : 0;
] k+1 k
z i+1,j + z i−1,j z i,j+1 + z i,j−1 4 ⃝ i = m : 0, j = 0 : n; Z i,j < Z i,j 时，更新
+ σ x + σ y . (18)
2 2 Z i,j = Z k+1 。
i,j