Page 41 - 《应用声学》2025年第2期

第 44 卷 第 2 期 王可等： 摆臂式薄膜型声学超材料隔声性能 301

К࠱ฉ 在 “弹簧 -质量” 系统下，圆膜振动与其他弹性
体的情况一样，均属于同一种分布参数系统，即圆形
薄膜振动位移大小与其径向位置有关。圆形薄膜的
ᤩ࠱ฉ 振动可以等效为圆心处有一个等效质量块在等效
ծ 弹簧的作用下振动。从能量等效角度分析，结合薄
ஆ
膜振动方程，可以得到圆形薄膜的等效质量和振动
Ԧ࠱ฉ
固有频率分别为 [31]
图 1 声波传播示意图 M en = mJ (u n ), (5)
2
1
Fig. 1 Acoustic wave propagation diagram 1 √
f 0 = K en /M en , (6)
此次实验主要是通过分析透射波与入射波的 2π
大小关系来研究 MAMs 的隔声性能。MAMs 在振 其中，M en 表示薄膜的等效质量，m 为薄膜的实际
动过程中可以当成一个 “弹簧 -质量” 系统，其中薄 质量，J 1 (u n ) 为 1 阶柱贝塞尔函数，K en 为等效弹簧
膜相当于弹簧，薄膜上质量块就是质量。“弹簧 -质 系数。
量” 系统受到外界弹性波的作用时，系统将在谐振 当在薄膜上添加一个质量块M 时，等效质量变
力作用下做简谐振动。假设在空间直角坐标系中， 为M + M en ，振动固有频率如下：
√
有一张紧的平面薄膜在 xOy 平面上处于平衡状态， 1 K en
f 0 = . (7)
且薄膜在各个方向上都是被均匀拉伸的。平面薄膜 2π M en + M
在单位长度上所受的拉力大小设为T，单位为N/m。 等式 (7)可以很好地解释 MAMs能够降低固有
当受到一个 z 轴方向上的外力扰动后，薄膜会发生 频率的原因。当质量块的质量增加时，实际上是集
形变。如果受到 z 轴正方向的外力扰动，薄膜会凸 中质量在增加，那么就会使等效总质量增加，从而
起；如果受到z 轴负方向的外力扰动，那么薄膜会凹 减小固有频率；当质量块的质量减小时，会使等效
下去，此时在 z 轴方向上产生一个横振动。在薄膜 总质量减小，使得固有频率增加。该等式也是优化
上取一个小面元 dxdy，当该面元发生形变时，它的 MAMs 的重要工具。当入射声波频率与 MAMs 的
相邻元会对四周边缘产生一个张力作用，则作用在 固有频率接近或相等时，薄膜系统将发生共振现象。
该面元的x与x + dx边缘上垂直方向的合力 [30] 为 假设圆形薄膜受到平面波作用，其声压为
( ) ( ) ( 2 ) p = p a e jωt ，圆形薄膜半径为a，其中p a 为声压振幅，
∂η ∂η ∂ η
T dy − T dy = T dxdy,
∂x x+dx ∂x x ∂x 2 ω 为声波圆频率。将平面波作用力与等式 (4) 薄膜
(1) 自由振动方程联立，化为极坐标形式，整理可得薄膜
其中，η 为薄膜上一点离开平衡位置的垂直方向位 振动方程
移，同理可求作用在该面元的 y 与 y + dy 边缘上的 ∂ η 1 ∂η 1 ∂ η p
2
2
+ = − . (8)
2
垂直合力为 ∂r 2 r ∂r c ∂t 2 c σ
2
2 )
( ∂η ) ( ∂η ) ( ∂ η 根 据 分 离 变 量 法， 该 方 程 解 可 以 表 示 为
T dx − T dx = T dxdy.
∂x y+dy ∂x y ∂y 2 η(t, r) = R(r) e jωt ，将解代入等式(8)可得
(2) 2
d R 1 dR 2 p a
+ + k R = − . (9)
设σ 为面密度，σdxdy 即单位面积的膜质量，t 为时 dr 2 r dr T
间，则面元的运动方程为 结合柱贝塞尔函数，求解该非齐次微分方程可
( 2 2 ) ( 2 )
∂ η ∂ η ∂ η 得通解：
T + dxdy = σdxdy . (3)
∂x 2 ∂y 2 ∂t 2
p a (10)
整理可得 R(z) = AJ 0 (Z) − k T ,
2
2
1 ∂ η 其中，J 0 (Z)为0 阶柱贝塞尔函数。将等式 (10)代入
2
∇ η = , (4)
2
c ∂t 2 到η(t, r) = R(r) e jωt 中可得薄膜振动位移表达式：
√ 2 2 2 2 2
其中，c = T/σ，∇ = ∂ /∂x + ∂ /∂y 为二维直 [ p a ] jωt
η(t, r) = AJ 0 (kr) − e . (11)
角坐标的拉普拉斯算符。式(4)即为膜的振动方程。 k T
2