Page 56 - 《应用声学》2025年第2期

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其中，上符号和下符号分别对应于向前和向后差分 表 1 模拟变量的单位转换
近似。对于边界上的导数，二阶中心差分近似为 Table 1 Unit conversion of analog variables

∂n i n i (x + ∆x) − n i (x − ∆x)
(x) ≈ . (21) 物理量 格子量
∂x 2∆x √
332.532 m/s 1/ 3
对于拐角点，时间导数为 声速 c s
密度 ρ 0 1.29 kg/m 3 1
∂n i −1 ′ −1 ′
(x) = −P x I − P y I . (22) −10
y
x
∂t 时间 δt 4.521 × 10 s 1
为了确定下一步的宏观变量，一个简单的方法 黏度 ν 1.5 × 10 −5 m/s 0.1
是前向欧拉法： 声压幅值 P 0.8 kPa 1
∂n i (x, t) 长度 L x 2.6 × 10 −4 (1.8 × 10 −6 ) m 1000 (7)
n i (x, t + ∆t) ≈ n i (x, t) + ∆t . (23)
∂t (高度 L y ) 5.23×10 −5 (5.23×10 −5 ) m 201 (201)
设置完宏观变量后，开始处理边界上的分布 64 MHz 1/20 3(λ = 20)
√
√
函数。 频率 f 26 MHz 1/50 3(λ = 50)
√
在物理现象模拟中需要建立实际物理单位 13 MHz 1/100 3(λ = 100)
(Physical unit, PU) 与格子单位 (Lattice unit, LU)
之间的转化关系，本文涉及的基本量纲有速度 u、 初始时静止无脉动，在入口处设置声源的速度
长度 l、时间 t 和密度 ρ，因此只要确定格子单位和 为 u = u a sin(ωt)，其中 u a 表示振幅，ω = 2πf 表示

物理单位基本量纲间的转换关系：u r = c PU /c LU ， 角频率，f = c s /λ 表示频率，λ 表示波长。因此声源
s
s
l r = ν PU /(ν LU u r )，t r = l r /u r ，ρ r = ρ PU /ρ LU ， 处的密度被设为
0 0
其中 ν 是运动黏度，就能得到各比例系数，从 ( u a sin (ωt) )
ρ = ρ 0 + δ ρ sin(ωt) = ρ 0 1 + , (24)
而确定其余的变量的转换关系，如压强的比例 c s
2
系数 p r = (ν r ) /ρ r ，声压 P LU = P PU /p r ，频率 其中，ρ 0 代表平均密度，δ ρ 代表密度幅值。当设置
√
f LU = t r · f PU 。需要说明，在采用格子量做计算时， 参数值为 ρ 0 = 1，δ ρ = 0.01，c s = 1/ 3，可以求得
可以忽略物理量的概念，只需要保证模拟的关键准 u a = c s δ ρ /ρ 0 = 5.77 × 10 −3 。
则数与实际物理问题的准则数相同即可，格子单位 在数值模拟声传播问题时，可以设置声源与障
的使用并不会影响真实的物理规律。为更好地解释 碍物或边界足够远来处理声波反射的问题，但是这
模拟结果，本文的模拟均采用格子单位。 种方法受到计算资源的限制，是一种比较消极的做
法。因此本文人为地设置无反射边界处理声波反射
2 数值模型验证
的问题。出口边界采用声学无反射边界，格子数为
l x × l y = L x × L y = 1000 × 7。入口处边界设置速
为了验证 MRT-LBM 模型和边界条件的有效
性，首先使用 LBM 对经典的一维线源声传播进行 度和密度扰动的声源，上边界和下边界采用周期性
模拟。如图 2 所示，流体介质为标准大气压下的空 边界。模拟中所有采用的网格都是均匀的。
气，入口处设定声源，使声波沿着 x 轴正向传播，通 对于一维声波传播速度分布的解析解为
道长度为 L x ，高度为 L y 。表1 给出了模拟中用到的 u x (x, t) = u a e −αx sin (ωt − kx) , (25)
变量。
其中，x 表示声波传播的距离，t 表示声波传播的
L y 2 2
ևర᣸ႍ 时间，α = 4π ν/c s λ 表示单位长度上的声波衰减
௄Ԧ࠱ 系数。
᣸ႍ
图 3 为 ν = 0.1，δ ρ = 0.01，λ = 50 和 λ = 100
К԰ ևర᣸ႍ ѣ԰
y
  L x֓ L x 时位于通道中心线上 x 轴正向的水平速度分布，取
x
t = 3450时速度在x = 0 ∼ 1000范围内的分布。
图 2 一维线源声波传播物理模型 由图3可以看出，随着传播距离增加，声波的速
Fig. 2 One-dimensional line source acoustic wave 度振幅慢慢变小，衰减呈指数型，而且波长越大，衰
propagation model 减越慢。速度模拟解的最高峰值为 5.32 × 10 −3 ，速