Page 67 - 《应用声学》2025年第2期

第 44 卷 第 2 期 李昌伟等： 应用于电气设备局部放电定位的改进相位变换加权可控响应功率算法 327

式到达传声器阵列，因此声源到各个传声器的衰减
2 基 于 矩 阵 低 秩 稀 疏 分 解 的 改 进 SRP- 程度一致，此时第 m 个传声器接收到的信号模型可
PHAT算法
表示为
2.1 广义互谱矩阵的构建及信号互谱矩阵的低秩 x m (t) = αs(t − τ m ), m = 1, 2, · · · , M, (11)
性分析
式 (11) 中，α 表示声源传播到传声器阵列的衰减
对于一个具有M 个阵元的传声器阵列，将每个
因子。
阵元接收到的信号与包括自己在内的所有阵元接
根据傅里叶变换的时移性质，任意两个不同传
收到的信号分别计算一次功率谱，这样，共可以得
声器m和n接收信号的互功率谱可表示为
2
2
到 M 个功率谱。将这 M 个功率谱按如下方式组
成矩阵： G mn (ω) = X m (ω)X (ω)
∗
n
 
G 11 (ω) G 12 (ω) · · · G 1M (ω) = αS(ω) · (αS(ω)e −jωτ mn ∗
)
 
  2 2 jωτ mn
 G 21 (ω) G 22 (ω) · · · G 2M (ω)  = α |S(ω)| e . (12)
C =  . . . .  , (10)
 . . . . . 
 . . .  任 意 一 个 传 声 器 m 接 收 信 号 的 自 功 率 谱
 
G M1 (ω) G M2 (ω) · · · G MM (ω) 表示为
式 (10) 中，G mn (ω) 表示第 m 个阵元接收到的信号
G mm (ω) = X m (ω)X (ω)
∗
m
和第 n 个阵元接收到的信号的功率谱。式(10) 即为
∗
= αS(ω) · αS (ω)
广义互谱矩阵，其与常规互谱矩阵的区别在于：该矩
2
2
= α |S(ω)| . (13)
阵只由一帧信号的互功率谱构建，G mn (ω) 是一个
列向量，包含每帧信号的多个频点信息；常规互谱矩 对于 3 个传声器 m、n、p 两两之间的到达时间
阵由多帧信号的互功率谱构建，G mn (ω) 是一个数 差，很明显有
值，只包含每帧信号的某一个频点信息。
τ mn = τ mp + τ pn . (14)
下面对信号广义互谱矩阵的低秩特性进行分
析。以单声源为例，假设传声器阵列处在一个没有 综合式(12)、式(13)以及式(14)，可以将单声源
混响和噪声的理想环境中。由于声源以平面波的形 信号的广义互谱矩阵写成如下形式：
   
2 2
2 jωτ 12
2 jωτ 1M
|S(ω)| |S(ω)| e · · · |S(ω)| e |S(ω)|
   
 |S(ω)| e |S(ω)| 2 · · · |S(ω)| e   |S(ω)| e  [ ]


2 jωτ 2M
2 −jωτ 12
2 −jωτ 12


C =α 2  . . . .  =α 2  .  1 e jωτ 12 · · · e jωτ 1M .
 . . . . .   . 
 . . .   . 
   
|S(ω)| e |S(ω)| e · · · |S(ω)| 2 |S(ω)| e
2 −jωτ 1M
2 −jωτ 1M
2 −jωτ 2M
(15)
式 (15) 表明单声源信号的广义互谱矩阵的列向量 2.2 矩阵的低秩稀疏分解理论
组是线性相关的，该矩阵极大线性无关组的向量个 矩阵的低秩稀疏分解问题，也就是鲁棒主
数为1。因此，该广义互谱矩阵的秩为1，远小于矩阵 成分分析 (Robust principal component analysis,
的列数 (即传声器的个数)，说明单声源信号的广义 RPCA) [14] 。RPCA 本质上是解决数据在低维空
互谱矩阵具有低秩特性。 间上的最佳投影问题，当观测数据含有噪声时，
上面分析了单声源信号的广义互谱矩阵的低 RPCA 能够从较大的且被稀疏噪声污染的观测数
秩特性。对于多声源情况，只要满足声源数远小于 据中恢复出本质上低秩的数据。目前RPCA已被广
传声器阵列阵元数的条件，则其广义互谱矩阵也满 泛应用于图像去噪、视频背景建模等方面。
足低秩特性，并且广义互谱矩阵的秩等于声源的个 矩阵的低秩稀疏分解问题表述为：对于一个被
数，在此不再详细讨论。 噪声污染的观测矩阵 D，将其分解为一个低秩信号