Page 68 - 《应用声学》2025年第2期

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矩阵A 与一个稀疏噪声矩阵 E 之和，该问题可被建 3: 初始化：迭代次数 k = 0，初始低秩矩阵 A 0 ，初始稀疏矩阵 E 0 ；
模为以下优化问题： 4: while ∥D − A k − E k ∥ /∥D∥ > ε
F
F
更新 A：
min rank(A) + λ ∥E∥ 0 s.t. D=A+E, (16) T
A,E A k = U k S k V k ;
T
式 (16) 中，rank(A) 表示矩阵 A 的秩函数，∥E∥ 0 表 P T k (D − E k ) = U k U (D − E k ) + (D − E k )V k V k T
k
T
T
−U k U (D − E k )V k V ;
示矩阵 E 的 ℓ 0 范数，即矩阵 E 中非零元素的个数， k k
A k+1 = H r (P T k (D − E k ));
λ 是一个正则化参数，用来控制重构矩阵 A 的正确 更新 ζ： ζ k+1 =β{σ r+1[P T k (D − E k )]+γ k+1 σ 1[P T k (D − E k )]};
性与稀疏矩阵E 的稀疏性之间的平衡。 更新 E：E k+1 = T ζ k+1 (D − A k+1 )；
k = k + 1;
问题 (16) 的求解通常是 NP 难的，以往的解决
end while
方法是对其目标函数进行松弛。由相关引理可知， 5: 输出：低秩矩阵 A k ，稀疏矩阵 E k 。
矩阵的核范数是矩阵秩的凸包络，矩阵的 ℓ 1 范数是
矩阵 ℓ 0 范数的凸包络，因此，问题 (16) 可以被松弛 算法一中第三步初始化低秩矩阵 A 0 和稀疏矩
为以下凸优化问题： 阵E 0 的算法如下：
min ∥A∥ + λ ∥E∥ 1 s.t. D=A+E, (17)
A,E ∗ 算法二：初始化 RPCA-AccAltProj
式(17) 中，∥A∥ ∗ 表示矩阵 A的核范数，即矩阵 A的 1： 输入：待分解矩阵 D，目标低秩矩阵的秩 r，阈值参数 β；
2： A −1 = 0；
所有奇异值之和，∥E∥ 1 表示矩阵 E 的ℓ 1 范数，即矩
3： ζ −1 = βσ 1 (D)；
阵E 的元素绝对值之和。
(D − A −1 )；
4： E −1 = T ζ −1
问题 (17) 有多种求解方法，例如迭代阈值算 5： A 0 = H r (D − E −1 );
法 [14] 、加速近端梯度算法 [15] 以及增广拉格朗日乘 6： ζ 0 = βσ 1 (D − E −1 )；
子法 [16] 等。然而，这些方法的计算复杂度高，收 7： E 0 = T ζ 0 (D − A 0 )；
敛速度慢，在求解大型矩阵的低秩稀疏分解时需 8： 输出：A 0 ，E 0 。
要花费大量的时间。因此，Netrapalli 等 [17] 提出了
一种基于交替投影方法的非凸算法来直接求解问 通过加速交替投影方法对矩阵进行低秩稀疏
题 (16)。该算法迭代地将 D–A 投影到稀疏矩阵集 分解，需要以目标低秩矩阵的秩作为该算法的输入
上来更新 E，然后将 D–E 投影到低秩矩阵集上来 参数。根据奇异值分解去噪的原理，矩阵的较大奇异
更新 A。对稀疏矩阵的投影采用的是硬阈值方法， 值对应信号，较小的奇异值对应噪声，赵学智等 [19]
对低秩矩阵的投影采用的是奇异值分解方法。相较 提出了奇异值差分谱的概念，实现了奇异值分解降
于基于凸优化的求解方法，该方法能极大地降低计 噪时有用分量个数的确定。本文根据奇异值差分谱
的理论，求出广义互谱矩阵的有用奇异值个数，并
算复杂度，并且保证了全局收敛性和较高的收敛精
以此作为目标低秩矩阵的秩。若矩阵 D 的所有奇
度。在此基础上，本文采用一种基于加速交替投影
异值按从大到小排列组成向量Σ = (σ 1 , σ 2 , · · · σ k )，
方法的鲁棒主成分分析 (RPCA by accelerated al-
则奇异值差分谱B 的计算方法如下：
ternating projections, RPCA-AccAltProj) [18] 方法
对广义互谱矩阵进行低秩稀疏分解，采用小尺寸奇 B i = σ i − σ i+1 , i = 1, 2, · · · k − 1. (18)
异值分解代替全尺寸的截断奇异值分解，进一步简 若奇异值差分谱的最大值为B q ，则前 q 个奇异
化了计算的复杂度。具体算法如下： 值为有用奇异值，目标低秩矩阵的秩为q。

算法一：RPCA-AccAltProj 2.3 基于矩阵低秩稀疏分解的改进 SRP-PHAT
1: 输入： 待分解矩阵 D，目标低秩矩阵的秩 r，目标精度 ε，阈值参 算法
数 β，目标收敛率 γ； 理想信号的广义互谱矩阵具有低秩特性，但实
2: ∥M∥ F 表示矩阵 M 的 Frobenius 范数，H r (M) 表示求矩阵 际上传声器采集到的局部放电超声波信号一般不
M 的最佳秩 r 接近，H r (M)=US r V T ，其中 M =USV T
为理想的纯净信号，而是会包含噪声以及混响。因
表示矩阵 M 的奇异值分解，[S r ] ii = [S] ii if i 6 r and 0
otherwise，T ζ 表示硬阈值算子，T ζ (M) ij = M ij if M ij > ζ 此，实际信号的广义互谱矩阵的秩会大于声源的个
and 0 otherwise，σ i (M) 表示矩阵 M 的第 i 个奇异值；
数。依据矩阵低秩稀疏分解理论对实际信号的广义