Page 227 - 《应用声学》2025年第3期

第 44 卷 第 3 期 苏娜娜等： 孔隙度检测长骨骨质疏松的超声导波传播特性 761

因此，研究中考虑孔隙流体存在的影响是非常有 影响；(4) 利用数值方法求解得到其频散曲线，对
价值的，为实际长骨皮质骨的声振特性研究提供 比了弹性介质圆柱壳的结果，并分析了不同孔隙度
了更充分的理论依据。本文的工作旨在定量分析 下频散曲线和衰减曲线的变化；(5) 根据频散特性
孔隙流体的存在对传播波和孔隙介质体波的影响 分析结果，结合模态的波结构分布图，确定用孔隙
程度。 度检查充黏液孔隙介质圆柱壳状态的适合模态和
本文提出用孔隙介质空心圆柱壳来模拟长骨 频率。
皮质骨，对不同孔隙度下长骨中超声导波的传播
1 充黏液孔隙介质圆柱壳中导波的频散
特性进行了研究，由于导波在长骨中的传播速度
方程
对骨几何形状和材料特性 (包括骨密度、孔隙率和
杨氏模量) 等信息非常敏感，实现通过超声导波的 假设长骨皮质骨是轴对称、无限长的，长骨内
方法来反映长骨孔隙度的变化，进而由孔隙度的改 充有骨髓，本文设置结构模型为充黏液的孔隙介
变反推出长骨的骨质疏松程度，达到早期诊断骨质 质圆柱壳来模拟长骨，如图 1 所示。采用柱坐标系
状况的目的。文中对充黏液孔隙介质圆柱壳中的 (r, θ, z)，z 轴为圆柱中心线，r 1 和 r 2 为圆柱内半径

超声导波纵向模态的传播特性进行了详细的数值 和外半径；α L 和 β L 分别为黏性液体的纵波波速和
计算和定量分析：(1) 理论上构建了黏性流场 -孔隙 横波波速，ρ L 为孔隙介质圆柱壳内黏液的密度；c lf 、
介质圆柱壳耦合系统的声振模型；(2) 由弹性动力 c ls 和c t 分别表示孔隙介质的快纵波波速、慢纵波波
学方程和 Biot 理论推导该模型中超声导波纵向模 速和横波波速；ρ s 、ρ F 分别为孔隙介质圆柱中固体
态的频散方程；(3) 探讨了孔隙度对体波相速度的 骨架密度和孔隙流体密度。

r

r 
z θ
O r  O α L njβ L njρ L
ᳫ๯
ߘᬩ̮᠏ړኮܧ c lfnjc lsnjc tnjρ Snjρ F
(a) டʹڏ (b) ੕᭧ڏ

图 1 模型示意图
Fig. 1 Schematic of porous medium cylinder filled with viscous liquid

1.1 皮质骨的传播方程 弹性固体的 Lame 常数，N 也表示孔隙介质固体骨

在充黏液孔隙介质圆柱壳导波的理论推导中， 架的剪切模量；ρ 11 、ρ 12 和 ρ 22 分别为固体骨架的有
本文仍采用流体饱和孔隙介质经典理论 (Biot 理 效密度、孔隙流体的有效密度和固体骨架与孔隙流
论)。耗散存在的情况下，均匀、各向同性流体饱和 体惯性耦合密度；b 为 Biot 自定义的一个与达西渗
2
孔隙介质的运动方程为 [19−20] 透系数相关的耗散参数，b = β µ/κ [21] ，β 为孔隙度，
µ为孔隙流体的黏滞系数，κ为达西渗透系数。
2
N∇ u S + ∇ [(A + N) ∇ · u S + Q∇ · U F ] [22]
根据 Helmholtz 矢量分解定理 ，位移 u S 和
∂ 2 ∂ U F 可以分解为
= (ρ 11 u S + ρ 12 U F ) + b (u S − U F ) , (1)
∂t 2 ∂t
∇ (Q∇ · u S + R∇ · U F ) u S = ∇Φ S + ∇ × H S , (3)
∂ 2 ∂
= (ρ 12 u S + ρ 22 U F ) − b (u S − U F ) , (2) U F = ∇Φ F + ∇ × H F , (4)
∂t 2 ∂t
( ) (
其中，u S = u rS , u θS , u zS 和 U F = U rF , U θF , 其中，Φ S 和H S 为固体骨架的标量势函数和矢量势
)
U zF 为孔隙介质的固体骨架和孔隙流体位移；A、 函数，Φ F 和H F 为孔隙流体的标量势函数和矢量势
N、Q 和 R 为孔隙介质的弹性系数，A 和 N 对应于 函数。