Page 230 - 《应用声学》2025年第3期

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从而得到的频散曲线也会有较大的差别。为了充分 体骨架剪切模量 N 的变化如图 2 所示，随着孔隙度
应用各种模型中的导波特性，并更清楚地了解不同 的增大，K b 和N 均减小，且呈现近似线性变化趋势。
结构模型中导波模态的特征，求解频散曲线之后需 皮质骨又称密质骨或硬质骨，占到了人体骨骼总量
要对其进行深入的讨论和分析。 的 85%，孔隙度相对较低，约为 5% 至 10%，因此本
充黏液孔隙介质圆柱壳中导波的频散方程是 文只研究孔隙度小于等于20%的情况。
方程组的系数行列式等于零的一个等式，是复平面
表 4 孔隙介质圆柱壳参数
上的超越方程 [32−34] ，在任意区间范围内有无穷多 Table 4 Material parameters of porous
个根。为了得到频散方程解的有效近似值，对比了 medium cylinder
求解超越方程的有效近似解法 (二分法、牛顿法、线
参数 值
截取法、二次插值法) 等。本文采用线截取法、二分 孔隙度 β/% 10
法和牛顿-拉夫逊迭代法结合的方式，充分利用了这 静态渗透率 κ 0 /m 2 10 −12
三种方法各自独有的特点。这样既能克服单个算法 黏滞系数 µ/(kg·m −1 ·s −1 ) 0.001
骨架材料体积模量 K s/GPa 20.57
本身的不足，还能保证快速的运算速度，并确保根的
孔隙流体体积模量 K f /GPa 2.15
准确性，从而更好地计算复杂的频散超越方程。该 固体骨架体积模量 K b /GPa 14.72
求解思路具有显而易见的物理意义，并且易于理解 固体骨架剪切模量 N/GPa 5.98
和实现。
25
2 数值结果与分析 20 K b
N
为了与文献 [13] 进行对比，选择牛胫骨皮质 15
骨参数进行数值计算，孔隙介质圆柱壳的内径为 ुভവ᧚/GPa 10
r 1 = 18.20 mm，壁厚为 d = 3.84 mm。孔隙介质固
体骨架为牛胫骨皮质骨，孔隙流体和黏性液体选择 5
同一液体，模型中使用材料参数如表 2 和表 3 [13] 所
0
示。孔隙度为 0.10 时，相关的孔隙介质参数如表 4 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
ߘᬩए
所示。
图 2 孔隙介质固体骨架体积模量和剪切模量随孔
表 2 模型材料参数 隙度的变化曲线
Table 2 Material parameters Fig. 2 Curves of bulk modulus and shear modulus
of solid skeleton of porous medium with different
密度/ 纵波波速/ 横波波速/
介质 porosity
(kg·m −3 ) (km·s −1 ) (km·s −1 )
孔隙 固体骨架 1.900 4.000 1.970 2.1 体波相速度随孔隙度和频率变化关系
介质 孔隙流体 0.920 1.530
内部流体 0.920 1.530 孔隙度是孔隙介质中流体和固体组分相对体
积的一个关键参数 [35] 。为了更直观地研究孔隙
表 3 黏性液体参数
度对耦合系统频散特性的影响，在黏滞系数为
Table 3 Material parameters of viscous
10 −3 kg·m −1 ·s −1 下，取孔隙度为 0、0.05、0.10 和
liquid
0.20，考察充黏液孔隙介质圆柱壳中孔隙介质体波
体积黏度系数 剪切黏度系数 相速度随孔隙度和频率的变化规律，如图3所示。当
λ L /(kg·m −1 ·s −1 ) µ L /(kg·m −1 ·s −1 )
β = 0 时，快纵波、慢纵波和横波的相速度分别为
0.0025 0.001
4.000 km/s、0 km/s 和 1.970 km/s，且与频率无关，
孔隙介质固体骨架体积模量 K b 和固体骨架剪 即孔隙度 β = 0，不存在慢纵波。图 3(a) 和图 3(c)
切模量 N 由估计复合介质等效弹性模量的自洽公 表明快纵波和横波的相速度随频率增加而略有上
式确定。不同孔隙度下固体骨架体积模量 K b 和固 升，相速度随孔隙度增大而降低。在慢纵波相速度