Page 229 - 《应用声学》2025年第3期

第 44 卷 第 3 期 苏娜娜等： 孔隙度检测长骨骨质疏松的超声导波传播特性 763

T
将式(18)代入方程式(17)可得到： M [A 0 B 0 C 1 D 1 C 2 D 2 E F] = 0, (25)
( 2 2 2 )
∇ + ω /α Φ L = 0, (19) 其中，M 是一个8 × 8系数矩阵，其元素的具体表达
L
( 2 2 2 ) 式在附录 A 中给出。式 (25) 具有非零解，得到充黏
∇ + ω /β L H L = 0, (20)
液孔隙介质圆柱壳中导波的频散方程：
2
其 中， α 2 = c − iω/ρ L (λ L + 4µ L /3)， β 2 =
L L L
det(M) = 0. (26)
−iωµ L /ρ L ，α L 和 β L 分别为黏性液体的纵波波速
和横波波速。 求解频散方程式 (25) 在不同频率下的根，即可
由式(19)和式(20)可以得出如下形式的解： 得到一定频率范围内的导波频散曲线。每一条曲线
代表一个特定的模式，波数 k 为复数，实部和虚部分
Φ L = A 0 H (1) (γ Ll1 r) exp[i(kz − ωt)], (21)
0
别对应着传播速度和衰减。
H Lθ = B 0 H (1) (γ Lt1 r) exp[i(kz − ωt)], (22)
1 忽略孔隙介质的孔隙流体，弹性介质是对实际
其中，A 0 、B 0 为待定系数，H Lθ 为矢量势函数 H L 在 情况的一种简化，只考虑了其中的纵波和横波而忽
2
2
θ 方向上的分量，γ 2 = k 2 − k ，γ 2 = k 2 − k ， 略了孔隙介质中流体相对于固体骨架运动所产生
Ll Ll Lt Lt
√
2
2
2
2
2
2
k 2 = ω /α ，k 2 = ω /β ，γ Ll1 r = |γ r |， 的慢纵波。体现在公式推导中即孔隙介质中与孔隙
Ll L Lt L Ll
√
2
2
γ Lt1 r = |γ r |。对于充液圆柱结构，其声波是由 流体相关的势函数为零，而且孔隙度 β 的值为零。
Lt
(1)
轴向内扩散的，因此选取第一类Hankel函数(H n )。 将 β = 0 代入式 (1)、式 (2)、式 (15) 和式 (16) 得到
(1)
当γ 2 < 0或γ 2 < 0，H n 将由I n 代替。 U F = 0，Q = 0，R = 0，b = 0，η 1 = 0，η 2 = 0 和
Ll Lt
η 3 = 0。充黏液孔隙介质圆柱壳中导波的频散方程
1.3 边界条件
式(26)退化为
对充黏液孔隙介质圆柱壳模型，孔隙介质圆柱
′
壳外表面为自由边界，内表面应力等于黏液对柱壁 det(M ) = 0, (27)
的剪切力，速度和位移等于液体运动的速度和位移。 其中，M 是一个 6 × 6 矩阵，其与文献 [28–29] 的结
′
在孔隙介质内表面处于开孔状态的情况下，充黏液 果相同。
孔隙介质圆柱壳的边界条件为 [27] 1.4 截止频率
外表面上(r = r 2 )：
波数等于零得到的频率为截止频率 [30] 。即
σ rrS = 0, σ rrF = 0, σ rzS = 0. (23) k = 0，式(26)可写为
内表面上(r = r 1 )： L 1 L 2 = 0, (28)
其中，L 1 = 0或L 2 = 0给出了轴对称振动的截止频
σ rrL + iω(σ rrS + σ rrF ) = 0,
率，L 1 和L 2 详见附录B。L 1 = 0为充黏液孔隙介质
σ rzL + iωσ rzS = 0,
圆柱壳的平面应变振动，L 2 = 0 为只含轴向位移的
V rL + iω [(1 − β)u rS + βU rF )] = 0,
纵向剪切振动，与文献 [26] 中理想流体填充无限长
σ rrL + iω(σ rrF /β) = 0, 孔隙圆柱壳的研究不同，该模型中的截止频率与孔
V zL + iωu zS = 0. (24) 隙介质圆柱壳中黏性液体的存在相关。消除模型中
孔隙流体的影响，得到了 Gazis [31] 讨论的纯弹性圆
其中，u rS 、u zS 、σ rrS 和 σ rzS 分别为孔隙介质固相
柱壳的结果。在截止频率处，有的模态对应平面应
径向位移、轴向位移、径向应力和轴向应力，U rF
变振动，有的模态对应的是纵向剪切振动，因此，各
和 σ rrF 为孔隙介质液相径向位移和径向应力，V rL
模态在截止频率处的相速度和衰减也不同。
和V zL 分别为黏性液体速度在 r 和z 方向上的分量，
σ rrL 和 σ rzL 分别为黏性液体的径向应力和轴向 1.5 频散方程的求解
应力。 本文对理论模型的频散方程进行求解。不同复
将式 (12)∼(14)、式 (21) 和式 (22) 代入边界条 合结构模型虽然有相同的数值计算思路来求解频
件式 (23) 和式 (24)，得到关于 A 0 、B 0 、C 1 、D 1 、C 2 、 散方程，但孔隙介质表面孔隙流体状态的不确定性，
D 2 、E、F 的矩阵方程： 导致频散方程和参数输入的选择存在较大的差异，