Page 228 - 《应用声学》2025年第3期

762 2025 年 5 月

由式(1)∼(4)整理可得 考虑纵向模态时，矢量势函数 H S 的径向分量
2 2 和轴向分量都是零，只保留轴向分量。根据 Bessel
P∇ Φ S + Q∇ Φ F
函数解的表达式，对于轴对称纵向导波模式 (即周
2
∂ ∂
= (ρ 11 Φ S + ρ 12 Φ F ) + b (Φ S − Φ F ) , (5) 向阶数n = 0)，可得
∂t 2 ∂t
2
N∇ H S
Φ S1 = (C 1 Z 0 (γ Slf1 r) + D 1 W 0 (γ Slf1 r))
∂ 2 ∂
= (ρ 11 H S +ρ 12 H F )+b (H S − H F ), (6) × exp[i(kz − ωt)], (12)
∂t 2 ∂t
2 2
Q∇ Φ S + R∇ Φ F Φ S2 = (C 2 Z 0 (γ Sls1 r) + D 2 W 0 (γ Sls1 r))
∂ 2 ∂ × exp[i(kz − ωt)], (13)
= (ρ 12 Φ S + ρ 22 Φ F ) − b (Φ S − Φ F ) , (7)
∂t 2 ∂t
∂ 2 ∂ H Sθ = (EZ 1 (γ St1 r) + FW 1 (γ St1 r))
0 = (ρ 12 H S +ρ 22 H F ) − b (H S − H F ), (8)
∂t 2 ∂t × exp[i(kz − ωt)], (14)
其中，P = A + N。
其中，C 1 、D 1 、C 2 、D 2 、E、F 为待定系数，H Sθ 为
将式(7)和式(8)分别代入到式(5)和式(6)得
矢量势函数 H S 在 θ 方向上的分量，i 为单位虚数，
( 2 2 2 )
∇ + s ω Φ S1 = 0, (9)
2
lf ω 为角频率，t 为时间，k 为波数，γ 2 = k 2 − k ，
( 2 2 2 ) Slf Slf
∇ + s ω Φ S2 = 0, (10) 2 2 2 2 2 2 2 = s ω ，
2
2
γ
ls
Sls = k Sls − k ，γ St = k St − k ，k Slf lf
( 2 2 2 ) √
2
2
2
2
∇ + s ω H S = 0, (11) k 2 Sls = s ω ，k 2 St = s ω ，γ Slf1 r = |γ 2 Slf r |，
2
t
ls
t
√ √
2
2
其中，Φ S = Φ S1 + Φ S2 ，Φ S1 和Φ S2 为固体骨架的快 γ Sls1 r = |γ 2 Sls r |，γ St1 r = |γ r |，Z n 和W n 为
2
St
−1 −1 −1
纵波势函数和慢纵波势函数，s 、s 和 s 分别 n 阶 Bessel 函数或修正 Bessel 函数，具体取值的原
lf ls t
为快纵波波速、慢纵波波速和横波波速。 则列于表1 [23−24] 。
表 1 方程式使用的 Bessel 函数
Table 1 Bessel functions used at different intervals of the frequency ω
函数
2
2
γ Slf , γ Sls , γ 2 St > 0 J n(γ Slf r), Y n(γ Slf r) J n(γ Sls r), Y n(γ Sls r) J n(γ St r), Y n(γ St r)
γ 2 < 0, γ 2 , γ 2 > 0 I n(γ Slf1 r), K n(γ Slf1 r) J n(γ Sls r), Y n(γ Sls r) J n(γ St r), Y n(γ St r)
Slf Sls St
γ 2 , γ 2 < 0, γ 2 > 0 I n(γ Slf1 r), K n(γ Slf1 r) I n(γ Sls1 r), K n(γ Sls1 r) J n(γ St r), Y n(γ St r)
Slf Sls St
2
2
γ Slf , γ Sls , γ 2 St < 0 I n(γ Slf1 r), K n(γ Slf1 r) I n(γ Sls1 r), K n(γ Sls1 r) I n(γ St1 r), K n(γ St1 r)
对于孔隙介质中的孔隙流体，势函数为 可用以下微分方程描述 [25−26] ：
2
Φ F = η 1 Φ S1 + η 2 Φ S2 , (15) ∂ V L 2 µ L 2 ∂V L
= c ∇(∇ · V L ) + ∇
L
∂t 2 ρ L ∂t
H F θ = η 3 H Sθ , (16)
1 ( µ L ) ( ∂V L )
+ λ L + ∇ ∇ · , (17)
其中，H F θ 为矢量势函数H F 在θ 方向上的分量，η 1 、 ρ L 3 ∂t
η 2 和η 3 为快纵波、慢纵波和横波的液相参与系数。
其中，V L 为液体的速度，V L = ∂u L /∂t，u L 为液体
1.2 骨髓的传播方程 的位移，c L 和 ρ L 为自由状态下液体的波速和密度，
假设骨髓为具有体积黏度和剪切黏度的牛顿 λ L 和µ L 为体积黏性系数和剪切黏性系数。
液体，服从线性化的 Navier-Stokes 方程。若考虑流 利用Helmholtz分解原理，把速度V L 分解成表
体热黏性的影响，声波在黏性液体传播过程中的形 征纵波的标量势函数 Φ L 和表征横波的矢量势函数
式会有三种：热波、纵波和横波，由于在传播过程中， H L 的叠加：
热波会以极快的速度衰减，因此可以忽略其影响。
当单频波以简谐波在骨髓中传播时，黏性液体速度 V L = ∇Φ L + ∇ × H L . (18)