Page 109 - 应用声学2019年第2期

第 38 卷 第 2 期 李均浩等： 一种改进的非整数自适应时延估计方法 255

式(1)中参数α为特征指数，它决定α稳定分布
2 算法分析
的脉冲性程度。α 值越小，所对应分布的拖尾越厚，
样本的脉冲性越显著；反之，α 值变大，所对应分布 2.1 信号噪声模型
的拖尾变薄，样本的脉冲性减弱。当 α = 2 时，α 分
假定两个接收信号 x 1 (n) 和 x 2 (n) 满足下面的
布对应高斯分布，α稳态分布是广义的高斯分布。参
离散信号模型：
数β 确定分布的斜度，γ 是分散系数，它是样本相对
于均值分散程度的度量，a 为位置参数，对应 α 稳定 x 1 (n) = s(n) + v 1 (n), (9)
分布的中值或均值。 x 2 (n) = λs(n − D) + v 2 (n), (10)
1.2 共变 其中，λs(n − D) 为相对于 s(n) 的延迟源信号，λ 为
共变 [15] 是一种分数低阶统计量 (Fractional 衰减因子 (为了简便通常取 λ = 1)，v 1 (n)、v 2 (n) 分
lower order statistics, FLOS)，它在 SαS 分布 (对 别为两个接收端接收到的背景噪声，服从 α 稳定分
称 α 稳定分布) 随机变量中的作用类似于协方差在 布。假定信号与噪声、噪声与噪声是统计独立的。

高斯分布随机变量中的作用。两个满足 1 < α 6 2
2.2 共变相关算法
的联合SαS 分布随机变量x和y，其共变定义为
∫
互共变[x 1 (n), x 2 (n)] p−1 和自共变[x 1 (n), x 1 (n)] p−1
[X, Y ] α = xy ⟨α−1⟩ µds, (4)
S 可以写为
式(4) 中，S 表示单位圆；µ(◦) 表示 SαS 分布随机向
[x 1 (n), x 2 (n)] p−1
量 (x, y) 的谱测度；Z ⟨P ⟩ = Z ⟨P ⟩ sgn(Z)。由于谱测
度 µ(◦) 不易得到，因此，实际中常常通过分数低阶 = [s(n) + v 1 (n), s(n − D) + v 2 (n)] p−1
距(Fractional lower order moment, FLOM)来获得 = [s(n), s(n − D)] p−1 + [s(n), v 2 (n)] p−1
共变。两个满足 1 < α 6 2 的联合 SαS 分布随机变 + [v 1 (n), s(n−D)] p−1 +[v 1 (n), v 2 (n)] p−1 , (11)
量x和y，其共变与FLOM具有如下的关系：
[x 1 (n), x 1 (n)] p−1
E(XY ⟨p−1⟩ )
[X, Y ] α = p γ y , 1 6 p < α, (5) = [s(n) + v 1 (n), s(n) + v 1 (n)] p−1
E(|Y | )
式(5)中，γ y 为随机变量y 的分散系数。 = [s(n), s(n)] p−1 + [s(n), v 1 (n)] p−1
共变具有的一些性质 [15] 在 α 稳定信号处理和 + [v 1 (n), s(n)] p−1 +[v 1 (n), v 1 (n)] p−1 . (12)
分析中起着重要的作用。
由于假定了信号 s(n) 和噪声 v 1 (n)、v 2 (n) 是统计独
性质 1 共变 [X, Y ] α 对第一变元 x 是线性的，
立的，依据共变的性质，
即如果x 1 、x 2 和y 服从联合SαS，
[s(n), v 2 (n)] p−1 = 0, (13)
[AX 1 + BX 2 , Y ] α = A[X 1 , Y ] α + B[X 2 , Y ] α , (6)
[v 1 (n), s(n − D)] p−1 = 0, (14)
式(6)中，A和B 为任意实数。
性质2 如果 y 1 和y 2 是独立的，且x、y 1 和y 2 服 [v 1 (n), v 2 (n)] p−1 = 0, (15)
从联合SαS，则 [s(n), v 1 (n)] p−1 = 0, (16)

[v 1 (n), v 1 (n)] p−1 = C c δ(m). (17)
[X, AY 1 + BY 2 ] α
= A ⟨α−1⟩ [X, Y 1 ] α + B ⟨α−1⟩ [X, Y 2 ] α , (7) 式(10)和式(11)可以化简为

式(7)中，A和B 为任意实数。
[x 1 (n), x 2 (n)] p−1 = [s(n), s(n − D)] p−1 , (18)
性质 3 如果 x 和 y 是独立的且服从联合 SαS，
[x 1 (n), x 1 (n)] p−1 = [s(n), s(n)] p−1
则 [X, Y ] α = 0。反之，通常是不成立的。当 α = 2
时，即 x 和 y 服从零均值的联合高斯分布时，x 和 y + [v 1 (n), v 1 (n)] p−1 . (19)
的共变就退化为x和y 的协方差， 因此，x 1 (n) 和 x 2 (n) 的互共变 R c12 (m)，x 1 (n) 的自

[X, Y ] α = E(XY ). (8) 共变R c11 (m)分别为