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第 38 卷 第 3 期 贾文龙等： 基于分形理论的驻波声场中颗粒团运动特性数值预测 399

式(2)中，V t 是组成颗粒团的原生颗粒的总体积， dv y ρ − ρ g
m = −6πµ g R h v y /C c + mg , (8)
dt ρ
N
∑ 4 3
V t = πa . (3) 其中，m 为颗粒团质量，m = ρV t ；ρ 为颗粒材料密
i
3
i=1 度；v 为颗粒团速度，下标 x、y 表示在 x 向和 y 向的
颗粒团的流体动力学半径 R h 与颗粒团半径 R 分量；µ g 为气体动力黏度；g 为重力加速度；C c 为
的比值可写成分形维数D f 的函数 [27−28] ，即 Cunningham修正系数，其表达式为 [9,18]
√
( ) 2
R h D f C c = 1 + Kn[1.257 + 0.400 exp(−1.100/Kn)], (9)
= 1.56 − 1.728 − − 0.228. (4)
R 2
式 (9) 中，Kn 为 Knudsen 数，Kn = λ g /R h ，λ g 为气
联立式 (1)、式 (4)，通过逐次逼近的迭代算法，
体分子平均自由程。
即可获得颗粒团的流体动力学半径和分形维数。已
1.4 数值计算方法
有研究表明，颗粒团的质量-半径关系式和无量纲流
体动力学半径-分形维数关系式，适用于描述原生颗 依据式 (7)、式 (8) 给出的颗粒团运动方程，采
粒数目为2∼100的颗粒团 [28−30] 。 用四阶变步长 Runge-Kutta 算法计算出经历一个
时间步长后颗粒团的速度。在一个时间步长的初速
1.2 声波的波动方程
度和末速度已知的前提下，采用二阶隐式Adams插
将水平方向设为 x 向，由 Navier-Stokes 方程可
值算法求解颗粒团的位移，即
推导出一维水平平面驻波声场的波动方程为 ∆t
X(t + ∆t) = X(t)+ [v x (t + ∆t) + v x (t)], (10)
u = u 0 sin(kx) sin(ωt), (5) 2
∆t
Y (t + ∆t) = Y (t) + [v y (t + ∆t) + v y (t)], (11)
式(5)中，u为声波引起的气体振动速度；u为速度振 2
幅；k 为波数，k = ω/c，c为声速，ω = 2πf，f 为声波 其中，X 和 Y 分别为颗粒团的 x 向和 y 向位移；∆t
频率；x为声波波动方向位置坐标；t为时间。 为时间步长。∆t 通常要比声波周期 T = 1/f 和颗
通常采用声压级来描述声场的强度，声压级的 粒团弛豫时间τ 小得多，其中弛豫时间τ 可写为
2
表达式为 2ρR C c
h
τ = . (12)
( ) 9µ g
u 0 cρ g
L = 20 lg √ , (6)
2P r
2 数值模拟结果
式 (6) 中，L 为声压级；ρ g 为气体密度；P r 为参考声
压，P r = 2 × 10 −5 Pa。 2.1 模型验证
赵兵等 [24] 曾采用高速显微摄像系统对水平驻
1.3 颗粒团的动力学模型
波声场中单个颗粒团的运动轨迹进行可视化实验。
为着重探讨水平驻波声场中单个颗粒团的动
图 2 给出了赵兵等 [24] 的实验及本文数值模拟所得
力学特性，忽略颗粒团的破碎和重组。声场中颗粒
到的颗粒团运动轨迹。图2(b)给出的数值模拟结果
团所受作用力包括重力、浮力、Stokes力和非稳定力
中颗粒团的尺寸采用流体动力学直径 (2R h ) 表示。
(Basset 力、虚拟质量力、压力梯度力等)，对于气相
数值模拟采用的参数条件与实验一致，具体数值见
中的固体颗粒，与 Stokes 力相比，非稳定力可以忽
表 1。其中，T 为气体温度，p 为气体静压，x 0 为颗
略不计 [13] 。因此，若将重力方向设为y 向，颗粒团的
粒初始位置。根据颗粒团的组成和结构参数 (a、N、
运动方程可写为
D f )，利用式 (1) 计算得到颗粒团的流体动力学半径
dv x
m = 6πµ g R h (u − v x )/C c , (7) R h = 2.17 µm，据此计算颗粒团的运动。结果显示，
dt

表 1 数值模拟参数
Table 1 The numerical simulation parameters
T/K p/Pa L/dB f/Hz ρ/(kg·m −3 ) a/m N D f x 0 /m ∆t/s
300 101325 138 3000 2000 5×10 −7 14 1.8 λ/4 5×10 −7