Page 122 - 应用声学2019年第4期

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电路。沿厚度方向极化压电材料的 31 模态和沿长 者的极化方向不同，31模态的极化方向和伸缩方向
度方向极化压电材料的 33 模态连接分流电路的方 相互垂直，而33模态的极化方向和伸缩方向相互平
式分别如图 1(a) 和图 1(b) 所示。对于 31 模态来说， 行。工作在两个模态的压电片的尺寸均为l × w × t，
在长度方向伸缩，在与之垂直的方向产生电压差； 其中l、w、t分别为压电片的长度、宽度和厚度。在研
对于 33 模态来说，在长度方向伸缩，并在同一方向 究中，横梁和压电片的材料分别为钢和 PZT-5H，它
产生电压差。两种模态工作方式的不同主要源于二 们的材料参数如表1所示。

表 1 压电陶瓷和横梁的材料参数
Table 1 The parameters of PZT and beam
相对介电常数 压电常数/(C·m −2 ) 机械品质
密度 ρ p/(kg·m −3 ) 弹性常数/(10 10 N·m −2 )
S S D
ε /ε 0 ε /ε 0 e 31 e 33 e 15 因子 Q m
11
33
压电陶瓷 PZT-5A c E c E c E c E c E
11 12 13 33 44
12.1 7.54 7.52 11.1 2.11
7500 916 830 −5.4 15.8 12.3 75
c D c D c D c D c D
11 12 13 33 44
12.6 8.09 6.52 14.7 3.97
10
密度/(kg·m −3 ) 杨氏模量 (10 N·m −2 ) 泊松比
横梁 (钢)
7840 21.6 0.28
2 振动抑制效果的理论分析 连有 R-L 并联分流电路的压电材料的梅森
等效电路如图 3 所示，其中图 3(a) 为 33 模态的等
本节利用梅森等效电路从理论上计算应用压
效电路，图 3(b) 为 31 模态的等效电路。在图 3(a)
电材料的 31 模态或 33 模态时分流电阻上消耗的功
中，Z 1 = jρvS tan (kl/2) 和Z 2 = ρvS/(j sin (kl)) 为
率，从而来比较压电材料的 31 模态或 33 模态在振 √ /( )
机械阻抗，其中 k = ω/v 和 v = 1 ρs D 分别
33
动控制领域的性能。 / ¯
为压电材料 33 模态的波数和波速。C 0 = S lβ 33
以图1(b)的33模态情况为例，单独对粘贴压电
¯
是 压 电 材 料 33 模 态 的 内 部 电 容， 其 中 β 33 =
片的这一部分横梁进行分析，当这一部分横梁发生 ( /( ))
2
T
T
D
β 33 1 + g 33 s β T ，β 33 是介电隔离常数，g 33
33 33
弯曲时，导致压电片的下表面伸长或收缩，而上表 /( )
D ¯
D
是压电常数, s 是柔性常数。n = g 33 wt ls β 33
33
33
面保持不动，如图 2(a) 所示。压电片形变如图 2(b)
代表压电材料 33 模态的机电转换因子。同样在
˙
˙
所示，其中 ξ 1 和 ξ 2 为横梁结构施加在 33 模态压电
图 3(b) 中，ξ ˙′ 1m 和 ξ ˙′ 2m 假定为横梁结构施加在 31 模
˙
片下表面两端的速度。则中位面的振动速度 ξ 1m 和
态压电片两端的速度源。Z = jρv S tan (k l/2) 和
′
′
′
˙
ξ 2m 为等效模型的两端的速度，即 1
′
′
′
′
Z = ρv S/(j sin (k l)) 为机械阻抗，其中 k = ω/v ′
1 ( ) 2 √
˙
˙
˙
˙
ξ 1m + ξ 2m = ξ 1 + ξ 2 . (1) ′ /( E ) 分别为压电材料 31 模态的波数
2 和 v = 1 ρs 11
和波速。C = wl¯ε 33 /t是压电材料31模态的内部电
′
0
ԍႃྟ T ( 2 ) ，ε 是介电常数，k 31 为
T
容，其中 ¯ε 33 = ε 1 − k
33 31 33
/
机电耦合因子。n = wd 31 s 代表压电材料 31 模
E
′
ഷ್ 11
态的机电转换因子，s E 是柔性常数。此外，l、ρ 和
11
(a) ዥ᠛ԍႃྟᄊഷ್ᦊѬ S(S = wt) 分别为压电片的长度、密度和横截面积，
它们对于33模态和31模态是相同的。
由于 33 模态和 31 模态具有相同的推导过程，
ξ m ξ m
在本文中只给出 33 模态的推导过程，对于 31 模态
ξ  ξ 
(b) ԍႃྟ
类似地给出结论。如图3(a)所示，流过Z 2 的电流为
图 2 粘贴压电片横梁部分的振动分析 ˙ ˙
= ξ 1m + ξ 2m = ξ ˙ ′ + ξ ˙ ′ = I Z . (2)
I Z 2 1m 2m ′
Fig. 2 The vibration analysis of the part of the 2
beam bonded with the piezoelectric patch 基于电流的基本知识，流过分流阻抗 Z shunt 的