Page 88 - 应用声学2019年第5期

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方程的两条特征线决定 [6] ，初始扰动区间发生变化 会带来较大误差 [5] 。因此，阵形畸变情况下拖线阵
时将特征线沿x轴平移即可，示意图如图2所示。 上各点对于拖船直行的响应时间，需要另行分析。
零浮力缆法向阻力表达式 [7] 为
t ॖ־ӝ۫
2M 2 ( 2 )
F n = U C Dp sin θ + C f sin θ , (9)
πd c
其中，C Dp 是法向压差系数，C f 是法向摩擦系数，θ
表示水平方向阵流夹角。Lopes 等 [8] 将微元段缆受
ྲढ़ጳ ྲढ़ጳ
力平衡方程从欧拉坐标系变换到拉格朗日坐标系，
展开 sin θ 和 θ 发现二者小于 2 阶的项相等，因此可
c ੸ү d x 将式(9)中的sin θ 替换为θ。
以拖船停止转向开始直行时为初始时刻，用
图 2 扰动影响区域示意图
θ (x, t) 表示阵上 x 位置在 t 时刻的阵流夹角。已知
Fig. 2 Affected area of the disturbance
处于自由状态的缆尾端阵流夹角为 0，拖线阵处于
拖线阵运动过程中，拖船扰动的影响会由拖点 回转稳态时阵流夹角从拖点到缆尾逐渐减小，假设
逐渐传至缆尾，以拖船扰动时刻为初始时刻，将特征 阵流夹角沿拖线阵线性变化，则初始时刻阵上各点
线沿 x 轴平移至与原点相交，则可用特征线表示阵 的阵流夹角为
上各点受到拖船扰动影响的时间。 ∂θ (0, 0)
θ (x, 0) = θ (0, 0) + x
∂x
3.1 近似拖直情况 ( θ (0, 0) )
= θ (0, 0) + − x. (10)
计算拖线阵近似拖直情况下阵上各点对于拖 L
船机动的响应时间，需要分别计算声阵段对于声阵 拖船停止转向开始直行后，假设阵上各点阵流
段首端机动的响应时间以及拖缆段对于拖船机动 夹角随时间线性减小，若初始时刻拖点处阵流夹角
的响应时间。 为θ 0 ，利用全增量公式结合式(10)可得
声阵段是零浮力缆，可直接利用 Paidoussis 方 ∂θ (0, 0) ∂θ (x, 0)
θ (x, t) = θ (0, 0) + x + t
程。式(2)的特征方程为 ∂x ∂t
( )
( ) 2 θ 0 ∂θ (11)
dξ dξ = θ 0 + − x + t,
− 2β + (a + bξ) = 0, (7) L ∂t
dτ dτ ( ) 2 ( ) 2
L−x 2 L − x ∂θ ∂θ 2
2
解此特征方程可得到描述特征线的微分方程如 θ (x, t) = θ +2θ 0 t + t .
0
L L ∂t ∂t
式 (8) 所示，由特征线即可得到声阵段上各点对声 (12)
阵段首端机动的响应时间。
由于 ∂θ/∂t ≪ 1，且 θ = ∂y/∂x + U −1 ∂y/∂t [9] ，
dξ √ 2
= β ± β − a − bξ. (8) 式 (12)可近似表示为
dτ
( ) 2
拖缆段密度通常大于水密度且拖缆段尾端并 θ (x, t) ≈ L − x θ 2
2
L 0
非自由状态，利用 1.2 节方法将调整后的阻力系数 ( )
2
2
L − x ∂ y 1 ∂ y
以及形阻系数带入式 (2)，进而求解特征线，可得到 + 2θ 0 t + . (13)
L ∂x∂t U ∂t 2
拖缆段对于拖点机动的响应时间。
将式 (11) 和式 (13) 带入式 (9)，进而用其替换
3.2 阵形畸变情况 式 (1) 中最后一项，可得处于回转稳态的缆在拖直
拖船停止转向开始直行时，拖线阵处于畸变状 过程中的运动方程，求其特征方程和特征线，即可得
态，阵与流体在水平面内的夹角较大。而Paidoussis 到声阵段对于声阵段首端直行的响应时间。
方程中表示微元段法向阻力的项 (式 (1) 中最后一 计算畸变的拖缆段对于拖船直行的响应时间
项) 经过线性化近似，只适用于阵流夹角较小的情 时，拖缆段尾端非自由状态导致式 (10) 不成立，假
况，Rispin 通过实验证明阵流夹角大于 3 时线性化 设回转稳态的拖缆段尾端阵流夹角为 θ 1 ，应将初始
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