Page 27 - 《应用声学》2020年第3期

第 39 卷 第 3 期 牛金荣等： 超声辅助磨削杯形砂轮变幅器设计与试验 347

 [ ]
µ 1.2 频率方程
M r = D(σ 1 −1) J (δ 1 r) + ′
′′

0
 0 J (δ 1 r) A 1
 r
 圆锥杆的大端面和换能器的输出面通过螺纹

 [ ]
 µ

′′
 +D(σ 2 −1) J (δ 2 r) + ′
0
 0 J (δ 2 r) A 2 紧固连接，但换能器处于悬空状态，圆锥大端无限制
 r


 其位移的固定约束，为自由端，因此大端面上应力为
 [ ]
 µ
 ′′ ′
 +D(σ 1 −1) Y (δ 1 r) + Y (δ 1 r) B 1
 0 0 零，即E 1 ε 1 | z=0 = 0，将式(2)代入得
 r
(5)
[ µ ]
2
′
′′
 +D(σ 2 −1) Y (δ 2 r)+ Y (δ 2 r) B 2 , α C 1 + αk 1 C 2 = 0. (10)
 0 0

 r


 圆锥杆z = L、r = R 2 处与圆盘 r = R 3 处通过

 Gt Gt
 ′ ′
Q r = σ 1 J (δ 1 r)A 1 + σ 2 J (δ 2 r)A 2 螺母紧固连接，该接触面上满足受力相等和位移相

 0 0
 k τ k τ


 等的连续条件，即
 Gt Gt

′
′
 + σ 1 Y (δ 1 r)B 1 + σ 2 Y (δ 2 r)B 2 , 
 0 0
k τ k τ  2 2 ,
2 3
π(R − R )E 1 ε 1 | z=L,r=R 2 = 2πR 3 Q r | r=R 3
式(5)中，弯曲刚度D、剪切弹性模量G、剪切影响因 
ξ 1 | z=L = w| r=R 3 .
子k τ 的计算方式为
将式(1) ∼ (5)代入得
E 2 t 3 E 2 12 [ ]
D = , G = , k τ = . 2 2 k 1 sin(k 1 L) cos(k 1 L)
2
12(1 − µ ) 2(1 + µ) π 2 π(R − R )E −1 − −1 2 C 1
3
2
α − L (L − α )
(3) 圆管 [ k 1 cos(k 1 L) sin(k 1 L) ]
2
2
+ π(R − R )E − C 2
2
3
)
当杯形砂轮变幅器圆管部分的直径超过四分 L − α −1 (L − α −1 2
之一波长时，其实际振动表现为纵向、径向耦合振 Gt ′
− 2πR 3 σ 1 J (δ 1 , R 3 )A 1
0
动，求解该振型的理论非常复杂，难以得到解析解。 k τ
Gt
为了简化分析，忽略了其径向振动，采用了一维纵振 − 2πR 3 σ 2 J (δ 2 , R 3 )A 2
′
0
k τ
理论来建立圆管部分的理论模型 [15] 。在这种情况 Gt
′
下，圆管纵振位移ξ 3 和应变ε 3 的函数表达式为 − 2πR 3 k τ σ 1 Y (δ 1 , R 3 )B 1
0
Gt
′
ξ 3 = A 3 cos [k 3 (z − L − t 1 )] − 2πR 3 σ 2 Y (δ 2 , R 3 )B 2 = 0, (11)
0
k τ
+ B 3 sin [k 3 (z − L − t 1 )] , (6) cos(k 1 L) sin(k 1 L)
C 1 + C 2 − J 0 (δ 1 , R 3 )A 1
{ L − α −1 L − α −1
ε 3 = k 3 − A 3 sin [k 3 (z − L − t 1 )]
− J 0 (δ 2 , R 3 )A 2 − Y 0 (δ 1 , R 3 )B 1
}
+ B 3 cos [k 3 (z − L − t 1 )] , (7)
− Y 0 (δ 2 , R 3 )B 2 = 0. (12)
其中，A 3 、B 3 为由圆管边界条件确定的待定常数。
杯形砂轮通过螺母紧固在圆锥杆小端后，其连
圆波数 k 3 、圆频率 ω、纵波波速 c 3 的计算方式为 接可近似视为刚性连接，圆盘无径向转动，故其在
√
k 3 = ω/c 3 , ω = 2πf, c 3 = E 2 /ρ 2 。 = 0，将
r = R 3 处的径向转角 β r 为零，即 β r |
r=R 3
(4) 磨料层 式 (3)代入得
磨料层形状近似圆管状，因此也用忽略径向振
′ ′
(σ 1 − 1)J (δ 1 , R 3 )A 1 + (σ 2 − 1)J (δ 2 , R 3 )A 2
0
0
动的一维纵振理论进行简化计算。磨料层纵振位移
′
ξ 4 和其应变ε 4 的函数表达式为 + (σ 1 − 1)Y (δ 1 , R 3 )B 1
0
′
+ (σ 2 − 1)Y (δ 2 , R 3 )B 2 = 0. (13)
0
ξ 4 = A 4 cos [k 4 (z − L − t 1 − t 2 )]
当杯形砂轮变幅器工作时，圆盘在圆锥杆纵
+ B 4 sin [k 4 (z − L − t 1 − t 2 )] , (8)
向振动激励下做横向弯曲振动，无径向转动，故其
{
ε 4 = k 4 − A 4 sin[k 4 (z − L − t 1 − t 2 )] = 0，将
r = R 5 处的径向转角 β r 为零，即 β r | r=R 5
}
+ B 4 cos[k 4 (z − L − t 1 − t 2 )] , (9) 式 (3)代入得
′ ′
其中，A 4 、B 4 为由磨料层边界条件确定的待定常 (σ 1 − 1)J (δ 1 , R 3 )A 1 + (σ 2 − 1)J (δ 2 , R 3 )A 2
0
0
′
′
数。圆波数k 4 、圆频率 ω、纵波波速c 4 的计算方式为 + (σ 1 − 1)Y (δ 1 , R 3 )B 1 + (σ 2 − 1)Y (δ 2 , R 3 )B 2
0
0
√
k 4 = ω/c 4 , ω = 2πf, c 4 = E 3 /ρ 3 。 = 0. (14)