Page 28 - 《应用声学》2020年第3期

348 2020 年 5 月

圆盘和圆管同属杯形砂轮的金属基体，故在两 和位移相等的连续条件，即
者间假想的接合面处满足受力相等和位移相等的  2 2

 π(R − R )E 2 ε 3
 5 4 z=L+t 1 +t 2
连续条件，即 
2 2
= π(R − R )E 3 ε 4
4
5
 z=L+t 1 +t 2

2 2 
 
π(R − R ) E 2 ε 3 | = 2πR 5 Q r | 
5 4 z=L+t 1 r=R 5 ξ 3 = ξ 4 | z=L+t 1 +t 2 .
z=L+t 1 +t 2
 .
ξ 3 | = w|
z=L+t 1 r=(R 4 +R 5 )/2 将式(6) ∼ (9)代入得
将式(3) ∼ (7)代入得
k 3 E 2 sin (k 3 t 2 ) A 3 − k 3 E 2 cos (k 3 t 2 ) B 3
Gt (17)
2 2 ′ + k 4 E 3 B 4 = 0,
π(R − R )k 3 E 2 B 3 − 2πR 5 σ 1 J (δ 1 , R 5 )A 1
5 4 0
k τ
A 3 cos (k 3 t 2 ) + B 3 sin (k 3 t 2 ) − A 4 = 0. (18)
Gt
′
− 2πR 5 σ 2 J (δ 2 , R 5 )A 2
0
k τ 磨削加工中，杯形砂轮磨料层表面与工件相接
Gt
′ 触并受到磨削力的作用。然而，加工过程中的磨削
− 2πR 5 σ 1 Y (δ 1 , R 5 )B 1
0
k τ
力是动态变化的，现阶段难以对其进行建模及计算。
Gt ′
− 2πR 5 σ 2 Y (δ 2 , R 5 )B 2 = 0, (15) 为方便计算，将磨料层的右端简化为自由端，受力为
0
k τ
( ) ( ) = 0，将式(9)代入得
R 4 + R 5 R 4 + R 5 零，即 E 3 ε 4 | z=L+t 1 +t 2
A 3 − J 0 δ 1 , A 1 − J 0 δ 2 , A 2
2 2
( ) ( ) k 4 E 3 cos (k 4 t 3 ) B 4 − k 4 E 3 sin (k 4 t 3 ) A 4 = 0. (19)
R 4 + R 5 R 4 + R 5
− Y 0 δ 1 , B 1 − Y 0 δ 2 , B 2
2 2 联立式 (10)∼(19)，经过整理可以得到一个齐
= 0. (16) 次方程组：
∆ 10×10 ζ 10×1 = 0 10×1 , (20)
杯形砂轮中，磨料通过结合剂固结在金属基体
上，因此圆管和磨料层的在连接面处满足受力相等 其中，
 
D 11 D 12 0 0 0 0 0 0 0 0
 
 
0 0 0
D 21 D 22 D 23 D 24 D 25 D 26 0 
 
 
 0 0 0 0 
D 31 D 32 D 33 D 34 D 35 D 36
 
 
 
 0 0 D 43 D 44 D 45 D 46 0 0 0 0 
 
 
 0 0 D 53 D 54 D 55 D 56 0 0 0 0 
 
∆ 10×10 =   ,
 0 0 D 63 D 64 D 65 D 66 0 D 68 0 0 


 
 
 0 0 D 73 D 74 D 75 D 76 D 77 0 0 0 
 
 
0 0 0 0 0 0 D 87 D 88 0
 
 D 810 
 
 
 0 0 0 0 0 0 D 97 D 98 D 99 0 
 
0 0 0 0 0 0 0 0 D 109 D 1010
T 量ζ 10×1 应取非零解，其充要条件为
ζ 10×1 = [C 1 C 2 A 1 A 2 B 1 B 2 A 3 B 3 A 4 B 4 ] .
D pq (p,q = 1, 2, · · · , 10) 为式 (10) ∼ (19) 中的待定 |∆ 10×10 | = 0. (21)
常数A i 、B i 、C j (i = 1, 2, 3, 4；j = 1, 2)的系数，可由 式(21) 即为杯形砂轮变幅器的频率方程。若变幅器
变幅器各部分几何尺寸、材料性能参数和工作频率 有一个尺寸未知，则根据变幅器的已知几何尺寸、材
求得。列向量ζ 10×1 中的元素全部为零时，变幅器处 料性能参数和设计频率，可由频率方程求得该未知
于静止不振动的状态，与实际情况不符。因此，列向 尺寸，完成变幅器的设计。