Page 26 - 《应用声学》2020年第3期

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砂轮变幅器划分为圆锥杆、圆盘、圆管和磨料层 4部 杯形砂轮变幅器中，圆锥杆左端连接压电换能
分，通过 Mindlin 中厚盘理论得出了圆盘的横向位 器，换能器激励圆锥变幅杆作纵向振动，变幅杆激励
移、径向转角、径向弯矩和径向剪力的函数表达式， 圆盘做横向弯曲振动，在圆盘外侧的圆管和磨料层
并分别建立了圆锥杆、圆管和磨料层的位移和应变 则在圆盘边缘的带动下做纵向振动，在磨料层的右
函数表达式。通过变幅器各组成部分之间的边界条 端，振动以纵向振动的形式输出。
件和耦合条件，推导了杯形砂轮变幅器的频率方程。 (1) 圆锥杆
在理论基础上，通过Matlab开发了杯形砂轮变幅器 变幅器工作时，圆锥杆在换能器激励下产生
设计软件。利用该设计软件对变幅器进行了设计， 纵向振动，其纵振位移 ξ 1 和应变 ε 1 的函数表达式
并通过有限元软件进行分析及修正，最终确定了杯 为 [13]
形砂轮变幅器的尺寸并制作了实物。将研制的杯形
(
1 ) −1[ ]
砂轮变幅器与 BT40 一体化外套筒、导电滑环装配 ξ 1 = z − α C 1 cos(k 1 z) + C 2 cos(k 1 z) , (1)
在一起，组成了杯形砂轮超声辅助磨削主轴附件式 ( 1 ) −1[ ]
ε 1 = z− − C 1 k 1 sin(k 1 z)+C 2 k 1 cos(k 1 z)
工具系统并进行了试验分析。 α
1 −2[ ]
( )
− z− C 1 cos(k 1 z)+C 2 sin(k 1 z) , (2)
α
1 杯形砂轮变幅器设计理论
R 1 − R 2
其中，α = ，C 1 、C 2 为由圆锥杆边界条件确
R 1 L
1.1 变幅器理论模型
定的待定常数；圆波数 k 1 、圆频率 ω、纵波波速 c 1 的
杯形砂轮变幅器由杯形砂轮、圆锥杆和紧固螺 √
计算方式为k 1 = ω/c 1 , ω = 2πf, c 1 = E 1 /ρ 1 。
母组成，杯形砂轮通过螺纹连接固定在圆锥杆小端。
(2) 圆盘
杯形砂轮包括金属基体和磨料层两部分，为便于分
圆盘在锥形变幅杆纵向振动的激励下做横向
析，将金属基体假想为由圆盘、圆管组成的结构。
弯曲振动。依据Mindlin中厚盘求解理论，圆盘的横
图 2为杯形砂轮变幅器的结构示意图，其中I为圆锥
向位移w 和径向转角β r 的函数表达式为 [14]
杆，II 为砂轮金属基体圆盘，III 为砂轮金属基体圆

管，IV为砂轮磨料层，V为六角螺母。由于螺母体积  w = A 1 J 0 (δ 1 r) + B 1 Y 0 (δ 1 r)



较小，因此在理论分析中将其忽略。圆锥杆左端半  +A 2 J 0 (δ 2 r) + B 2 Y 0 (δ 2 r),


径为R 1 ，右端半径为R 2 ，长度为L；砂轮金属基体圆 [ ] (3)
 β r = (σ 1 − 1) A 1 J (δ 1 r) + B 1 Y (δ 1 r)
′
′

0
0
盘的中心孔半径为 R 3 ，盘厚为 t 1 ；砂轮金属基体圆 


 [ ]
′
′
 +(σ 2 − 1) A 2 J (δ 2 r) + B 2 Y (δ 2 r) ,
管的内圆半径为 R 4 ，外圆半径为 R 5 ，管长为 t 2 ；砂 0 0
轮磨料层的厚度为 t 3 。变幅器各部分的密度、弹性 其中，
模量和泊松比分别用 ρ i 、E i 、µ i (i = 1, 2, 3) 来表示， 
δ 2 2 δ 2
1

i = 1, 2, 3 分别对应圆锥杆、杯形砂轮金属基体、杯  σ 1 = 4 , σ 2 = 4 ,

 Tδ − S −1 Tδ − S −1
 0 0

形砂轮磨料层。 

 4 { [ ] 1 }
 δ 4 2

 2 2 0 (T +S) ± (T −S) + ,
2
 δ , δ =
1 2 2 δ 4
r 0 (4)
ĉ Ċ  4 −1

0
 2 2[Tδ − S ] 4 ρt 2
 δ
Č  H = , δ = ω ,
0
č  1 − µ 1 D



 t 2 k τ D

R  R  R   T = , S = ,

O
z
12 Gt
R  R  其中，A j 、B j (j=1,2) 为待定常数，由圆盘边界条件
ċ 确定；J 0 (·)、Y 0 (·) 分别为圆盘横向弯曲振动时的节
L t  t  t 
径数为零的第一类和第二类贝塞尔函数。
图 2 杯形砂轮变幅器结构 此外，根据 Mindlin 理论，圆盘径向弯矩 M r 和
Fig. 2 Structure of cup wheel transformer 径向剪力Q r 为