Page 134 - 《应用声学》2020年第4期

620 2020 年 7 月

与之对应的四阶带通箱的状态空间方程写为
 
R E + R 2 Bl R 2
− 0 − 0 0
 
L E L E L E  
  1
 
0 0 1 0 0 0  L E 
 
 
 
 
 
   0 
 Bl 1 R MS S 
− − 0 −  
 0 
 
 M MS C M M MS M MS M MS 

 u,
˙ x =   x +  0  (1)
 1 
R AP  
0 0 0 − 0  0 
 
 
M AP M AP  
 
 
 
 S 1   0 


 0 0 − 0 0 
 C AB2 C AB2  0
 
 
R 2 R 2
0 0 0 0 −
L 2 L 2
[ ] T
. (2)
x = i x v U P p a i 2
1.2 系统模型离散化 变换法与零极点匹配法精度较高、频率特性保真度
较好，当 s 域传递函数稳定时，z 域传递函数一定稳
基于状态空间方程式 (1) 使用前向欧拉法进行
定 [12] 。因此下文将状态空间方程改写成传递函数
仿真得到的系统离散时间模型即 SS 模型。前向欧
的形式，利用双线性变换法和零极点匹配法对其进
拉法是基于前向差分法对传递函数进行离散化的，
行离散化，建立系统的ARMA模型。
这种方法基于积分的矩形法则，较为简单但是畸变 将状态空间方程改写成偏微分方程组并对其
严重、等效精度较差，且只能将s左半平面的一个有 进行拉普拉斯变换，将电学端、力学端、声学端状态
限半径的圆映射到 z 平面的单位圆，所以当 s 域传 量合并，得到用 3 个系统状态量 i、v、p a 表示的传递
递函数稳定时，z 域传递函数不一定稳定；而双线性 函数方程组：
 { }
L 2 s + R 2
 i = L −1 ∗ (u − Blv) ,

 2

 L 2 L E s + (R E L 2 + R 2 L E + R 2 L 2 ) s + R E R 2

 { }
 C M s
v = L −1 ∗ (Bli − p a S) , (3)
2
 M MS C M s + R MS C M s + 1

 { }


 −1 M AP s + R AP
 p a = L ∗ (Sv) ,

2
M AP C AP s + R AP C AP s + 1
其中，L −1 表示求逆拉普拉斯变换，∗为卷积符号。
提取其中的s域传递函数：

L 2 s + R 2
 H i (s) = ,

 2
 L 2 L E s + (R E L 2 + R 2 L E + R 2 L 2 )s + R E R 2



C M s
H v (s) = , (4)
2
 M MS C M s + R MS C M s + 1



 M AP s + R AP

 H p (s) = .
2
M AP C AP s + R AP C AP s + 1
使用双线性变换法将电学 s 域传递函数离散化，使用零极点匹配法将力学和声学 s 域传递函数离散化，
得到z 域传递函数及时域差分方程：
 −1 −2 ( −1 −2 )
b i0 + b i1 z + b i2 z b v z − a v2 z

 H i (z) = , H v (z) = ,

1 + a i1 z + a i2 z 1 + a v1 z + a v2 z
 −1 −2 −1 −2
( −1 −2 ) (5)
 b p 1 + (1 − a p2 ) z − a p2 z

 H p (z) = ,

1 + a p1 z −1 + a p2 z −2