Page 18 - 《应用声学》2020年第4期
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                     [                                  ] T                 K
                                               ˆ
                                                     ˆ
                                         ˆ
                       ˆ
                             ˆ
                                   ˆ
             其中g k = M k cos θ k −cos θ 0 , −(M k sin θ k −sin θ 0 )  。    ∑ [ (                 )
                                                                                  ¯
                                                                                               ¯
                                                                                       ¯
                                                                      J 0 =      M k cos θ k − cos θ 0 X
             假定 k 时刻目标方位和距离特征量的估计误差分别
                                                                           k=0
             为 ε θ,k 和 ε m,k ,均满足零均值的高斯分布且相互独                                (  ¯    ¯      ¯  ) ] 2
                                                                           − M k sin θ k − sin θ 0  ,
                         (   2  )         (   2  )
             立,ε θ,k ∼ N 0, σ ,ε m,k ∼ N 0, σ   。将 ε θ,k 和
                             θ                m                             K
                                                                                                   ¯
                                                                           ∑ (                       ) 2
                                                                                             ¯
                                                                                ¯
                                                                                      ¯
             ε m,k 代入式(15)可得                                         J 1,θ =    M k sin θ k X + M k cos θ k ,
                                                                           k=0
               e X,k                                                        K
                                                                           ∑ (                ) 2
                                                                                   ¯
                                                                                            ¯
               [(          )   (        )      (       )]                       sin θ 0 X + cos θ 0 ,
                                ¯
                                                ¯
                  ¯
             =   M k + ε m,k cos θ k + ε θ,k − cos θ 0 + ε θ,0  X    J 2,θ =
                                                                           k=0
                 [(          )   (        )     (        )]
                                                 ¯
                    ¯
                                  ¯
               −   M k + ε m,k sin θ k + ε θ,k − sin θ 0 + ε θ,0            K
                                                                           ∑ (                ) 2
                                                                                            ¯
                                                                                   ¯
               [ (         ) (                         )             J m =      cos θ k X − sin θ k .
                  ¯
                                ¯
                                              ¯
             =   M k + ε m,k  cos θ k cos ε θ,k − sin θ k sin ε θ,k
                                                                           k=0
                 (                          ) ]
                      ¯             ¯
               − cos θ 0 cos ε θ,0 − sin θ 0 sin ε θ,0  X      令
                 [ (         ) (                         )                     [                  ] T
                                                                                 ¯
                                                                                          ¯
                                                 ¯
                                                                                       ¯
                    ¯
                                  ¯
                                                                                                ¯
               −    M k + ε m,k  sin θ k cos ε θ,k + cos θ k sin ε θ,k  w 1,θ,k = M k sin θ k , M k cos θ k  ,
                 (                          ) ]                                [           ] T
                     ¯              ¯                  (16)                        ¯     ¯   ,
               − sin θ 0 cos ε θ,0 + cos θ 0 sin ε θ,0  .              w 2,θ,k = sin θ 0 , cos θ 0
                                                                               [   ¯       ¯  ] T
             因为 ε θ,k 足够小,所以 cos ε θ,k ≈ 1,sin ε θ,k ≈ ε θ,k ,         w m,k = cos θ k , − sin θ k  ,
             则式(16)化简为                                         可得
                                                                      2
                                                                                              T
                                                                                      2
                      [ (         ) (                )              σ (J 1,θ + J 2,θ ) + σ J m = γ W γ,  (20)
                                        ¯
                         ¯
                                                   ¯
                e X,k ≈  M k + ε m,k  cos θ k − ε θ,k sin θ k        θ                m
                         (   ¯          ¯  ) ]                 其中,
                       − cos θ 0 − ε θ,0 sin θ 0  X
                                                                         K
                                                                         ∑ [
                         (          ) (                )                             T            T     2
                           ¯             ¯           ¯             W =       (w 1,θ,k w  + w 2,θ,k w  )σ
                       − [ M k + ε m,k  sin θ k + ε θ,k cos θ k                      1,θ,k        2,θ,k  θ
                         (                )                              k=0
                                        ¯
                             ¯
                       − sin θ 0 + ε θ,0 cos θ 0 ]                               T    2  ]
                                                                         + w m,k w  σ   .
                                       ¯
                               ¯
                      [ (                )                                       m,k m
                         ¯
                    =   M k cos θ k − cos θ 0 X                                              T
                                                                   为了得到γ 的无偏估计,将γ W γ 限定为一个
                         (  ¯   ¯       ¯  ) ]
                                                                            T
                                                                               T
                       − M k sin θ k − sin θ 0                 常数同时使 γ G G K γ 达到最小            [16−17] 。上述问
                                                                               K
                         (  ¯   ¯      ¯     ¯  )
                       − M k sin θ k X + M k cos θ k ε θ,k     题可以转化为如下条件极值问题:
                         (   ¯        ¯  )                               T  T              T             (21)
                                                                            K
                       + sin θ 0 X + cos θ 0 ε θ,0                  min γ G G K γ,    s.t. γ W γ = 1.
                                                                     γ
                         (   ¯        ¯  )
                       + cos θ k X − sin θ k ε m,k             针对此条件极值问题,可通过拉格朗日乘数法求解,
                         (              )                      可得   [17]
                             ¯
                                      ¯
                       − sin θ k X + cos θ k ε m,k ε θ,k .  (17)
                                                                                                  )
                                                                                       (
                                                                                             T
                                                                            T
                                                                         T
                                                                    ξ = γ G G K γ + λ 1 − γ W γ .        (22)
             根据式(17)可以得到,均方误差为                                              K
                                                               对γ 求偏导,并令偏导值为0,得到
                  [  2  ]  [ (              )
                                           ¯
                                   ¯
                             ¯
                E e     =   M k cos θ k − cos θ 0 X
                   X,k                                                         T
                                                                              G G K γ = λW γ.            (23)
                             (               ) ] 2                             K
                              ¯     ¯      ¯
                          − M k sin θ k − sin θ 0
                                                               根据式 (23) 可以看到,此问题为广义特征值问题,λ
                             (                     ) 2  2
                              ¯     ¯      ¯     ¯                 T
                          + M k sin θ k X + M k cos θ k  σ     为 G G K 相对于 W 的特征值,γ 为属于 λ 的特征
                                                      θ            K
                             (              ) 2  2
                                 ¯        ¯                    向量,最小特征值所对应的特征向量即为该条件极
                          + sin θ 0 X + cos θ 0  σ θ
                             (              ) 2  2             值的解,进而得到目标航向正切值的估计值为
                                 ¯        ¯            (18)
                          + cos θ k X − sin θ k  σ .                                  γ(1)
                                               m
                                                                                  ˆ
                                                                                 X =      .              (24)
                 假设观测总时长为K + 1,则总的均方误差为                                               γ(2)
                K                                              2.2  航向判别方法
                ∑    [  2  ]       2               2
                   E e X,k  = J 0 + σ (J 1,θ + J 2,θ ) + σ J m
                                                   m
                                   θ
                k=0                                                目标航向范围为 [0, 2π],但反正切函数在 [0,
                                  T
                               T
                           = γ G G K γ,                (19)    2π] 内具有多值性,所以获得目标航向正切值的估
                                  K
                                                               计值后,需要进行航向判别。图 2 为目标航向判别
             其中,
                                                               示意图,下面以目标初始时刻位于第一象限为例,进
                                    T
                  G K = [g 0 , · · · , g K ] ,                 行航向判别。
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