Page 18 - 《应用声学》2020年第4期

504 2020 年 7 月

[ ] T K
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
其中g k = M k cos θ k −cos θ 0 , −(M k sin θ k −sin θ 0 ) 。 ∑ [ ( )
¯
¯
¯
J 0 = M k cos θ k − cos θ 0 X
假定 k 时刻目标方位和距离特征量的估计误差分别
k=0
为 ε θ,k 和 ε m,k ，均满足零均值的高斯分布且相互独 ( ¯ ¯ ¯ ) ] 2
− M k sin θ k − sin θ 0 ,
( 2 ) ( 2 )
立，ε θ,k ∼ N 0, σ ，ε m,k ∼ N 0, σ 。将 ε θ,k 和
θ m K
¯
∑ ( ) 2
¯
¯
¯
ε m,k 代入式(15)可得 J 1,θ = M k sin θ k X + M k cos θ k ,
k=0
e X,k K
∑ ( ) 2
¯
¯
[( ) ( ) ( )] sin θ 0 X + cos θ 0 ,
¯
¯
¯
= M k + ε m,k cos θ k + ε θ,k − cos θ 0 + ε θ,0 X J 2,θ =
k=0
[( ) ( ) ( )]
¯
¯
¯
− M k + ε m,k sin θ k + ε θ,k − sin θ 0 + ε θ,0 K
∑ ( ) 2
¯
¯
[ ( ) ( ) J m = cos θ k X − sin θ k .
¯
¯
¯
= M k + ε m,k cos θ k cos ε θ,k − sin θ k sin ε θ,k
k=0
( ) ]
¯ ¯
− cos θ 0 cos ε θ,0 − sin θ 0 sin ε θ,0 X 令
[ ( ) ( ) [ ] T
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− M k + ε m,k sin θ k cos ε θ,k + cos θ k sin ε θ,k w 1,θ,k = M k sin θ k , M k cos θ k ,
( ) ] [ ] T
¯ ¯ (16) ¯ ¯ ,
− sin θ 0 cos ε θ,0 + cos θ 0 sin ε θ,0 . w 2,θ,k = sin θ 0 , cos θ 0
[ ¯ ¯ ] T
因为 ε θ,k 足够小，所以 cos ε θ,k ≈ 1，sin ε θ,k ≈ ε θ,k ， w m,k = cos θ k , − sin θ k ,
则式(16)化简为 可得
2
T
2
[ ( ) ( ) σ (J 1,θ + J 2,θ ) + σ J m = γ W γ, (20)
¯
¯
¯
e X,k ≈ M k + ε m,k cos θ k − ε θ,k sin θ k θ m
( ¯ ¯ ) ] 其中，
− cos θ 0 − ε θ,0 sin θ 0 X
K
∑ [
( ) ( ) T T 2
¯ ¯ ¯ W = (w 1,θ,k w + w 2,θ,k w )σ
− [ M k + ε m,k sin θ k + ε θ,k cos θ k 1,θ,k 2,θ,k θ
( ) k=0
¯
¯
− sin θ 0 + ε θ,0 cos θ 0 ] T 2 ]
+ w m,k w σ .
¯
¯
[ ( ) m,k m
¯
= M k cos θ k − cos θ 0 X T
为了得到γ 的无偏估计，将γ W γ 限定为一个
( ¯ ¯ ¯ ) ]
T
T
− M k sin θ k − sin θ 0 常数同时使 γ G G K γ 达到最小 [16−17] 。上述问
K
( ¯ ¯ ¯ ¯ )
− M k sin θ k X + M k cos θ k ε θ,k 题可以转化为如下条件极值问题：
( ¯ ¯ ) T T T (21)
K
+ sin θ 0 X + cos θ 0 ε θ,0 min γ G G K γ, s.t. γ W γ = 1.
γ
( ¯ ¯ )
+ cos θ k X − sin θ k ε m,k 针对此条件极值问题，可通过拉格朗日乘数法求解,
( ) 可得 [17]
¯
¯
− sin θ k X + cos θ k ε m,k ε θ,k . (17)
)
(
T
T
T
ξ = γ G G K γ + λ 1 − γ W γ . (22)
根据式(17)可以得到，均方误差为 K
对γ 求偏导，并令偏导值为0，得到
[ 2 ] [ ( )
¯
¯
¯
E e = M k cos θ k − cos θ 0 X
X,k T
G G K γ = λW γ. (23)
( ) ] 2 K
¯ ¯ ¯
− M k sin θ k − sin θ 0
根据式 (23) 可以看到，此问题为广义特征值问题，λ
( ) 2 2
¯ ¯ ¯ ¯ T
+ M k sin θ k X + M k cos θ k σ 为 G G K 相对于 W 的特征值，γ 为属于 λ 的特征
θ K
( ) 2 2
¯ ¯ 向量，最小特征值所对应的特征向量即为该条件极
+ sin θ 0 X + cos θ 0 σ θ
( ) 2 2 值的解，进而得到目标航向正切值的估计值为
¯ ¯ (18)
+ cos θ k X − sin θ k σ . γ(1)
m
ˆ
X = . (24)
假设观测总时长为K + 1，则总的均方误差为 γ(2)
K 2.2 航向判别方法
∑ [ 2 ] 2 2
E e X,k = J 0 + σ (J 1,θ + J 2,θ ) + σ J m
m
θ
k=0 目标航向范围为 [0, 2π]，但反正切函数在 [0,
T
T
= γ G G K γ, (19) 2π] 内具有多值性，所以获得目标航向正切值的估
K
计值后，需要进行航向判别。图 2 为目标航向判别
其中，
示意图，下面以目标初始时刻位于第一象限为例，进
T
G K = [g 0 , · · · , g K ] , 行航向判别。