Page 17 - 《应用声学》2020年第4期

第 39 卷 第 4 期 董阁等： 利用频域 β-warping 变换的浅海目标航向估计方法 503

简正波号数有关的常数，β 为波导不变量的真实 简正波互相关项通过频域 β-warping后的脉冲时延
值。假设接收信号的有效频带为 [f 1 , f 2 ]，频域 β- 为波导不变量取真实值时的 q 倍 [15] 。由式 (9) 可以
warping 变换算子为 w(f) = Cf −β ，C 为常数。当 看到，k 时刻的距离特征量可以表示为 k 时刻和初
[ ]
β β
β > 1 时，C 取 f f 2 , f 1 f 内的任意值均可保证 始时刻的第 n 阶和第 m 阶简正波互相关项对应的
1 2
频域 β-warping 变换重采样后的频带包含接收信 脉冲时延的比值。因此，波导不变量的估计误差不
号的有效频带范围 [10] 。假定波导不变量的估计值 会影响距离特征量的估计精度。
ˆ
ˆ
ˆ β
为 β，且 β = qβ，则 w(f) = Cf − ˆ β 。令 C = Df ，
0
其中 D = f 1 f 2 /f 0 , f 0 ∈ [f 1 , f 2 ]。对式 (1) 进行频域 2 目标航向估计方法
β-warping变换可得
2.1 渐近无偏最小二乘方法
目标与观测平台在 x-y 二维平面上的运动态势
FW {R(f)}
√
N N 示意图如图 1 所示。假定观测平台静止且位于坐标
( ) ( )
dw (f) 2 ∑ ∑ − ˆ β
= S Cf − ˆ β A n Cf
df 原点，目标做直航运动，目标航向为ϕ，k 时刻的目标
n=1 m=1
m̸=n 方位和距离特征量分别为 θ k 和 M k 。根据距离特征
( ) −1/β −q q
· A ∗ Cf − ˆ β e jrγ nm D f 0 f . (2) 量的定义和正弦定理可得
m
sin ψ
若所选参数满足以下条件 [15] ： M k = . (10)
sin φ k
|f − f 0 |
|q − 1| · max ≪ 1, (3) 根据几何关系可以得到
2f 0
ψ = π − (ϕ − θ 0 ) , (11)
式(2)可近似为
φ k = ϕ − θ k . (12)
FW {R(f)}
将式(11)和式(12)代入式(10)得
√
N N
( ) ( )
dw (f) 2 ∑ ∑
− ˆ β − ˆ β
≈ S Cf A n Cf M k = sin(ϕ − θ 0 )/sin(ϕ − θ k ). (13)
df

n=1 m=1
m̸=n y
( ) −1/β
· A ∗ Cf − ˆ β e j(1−q)rγ nm D φ
m
ᄬಖ
· e jqrγ nm D −1/β f 0 −1 f . (4) ψ
ϕ k
r 0
根据式 (4) 可以看出，第 n 阶和第 m 阶简正波互相
关项通过频域β-warping变换得到的脉冲时延为 r k
θ 
θ k
−1/β −1
t = qrγ nm D f /2π. (5) ᜺฾ࣱԼ x
nm| ˆ β 0
O
k 时刻的距离特征量定义为 k 时刻的目标距离
与初始时刻的目标距离的比值，即 图 1 目标与观测平台运动态势示意图
Fig. 1 The motion state of target and observer platform
M k = r k /r 0 . (6)
假定 k 时刻的目标方位的真值和估计值分别为
对初始时刻和 k 时刻的接收信号自相关函数分别进
ˆ
¯
¯
θ k 和 θ k ，距离特征量的真值和估计值分别为 M k 和
行频域β-warping变换，可得
ˆ
M k ，将目标方位和距离特征量的真值代入式 (13)，
t = qr 0 γ nm D −1/β −1 /2π, (7)
f
nm,0| ˆ β 0 进一步整理得
( ) ( )
¯
¯
¯
¯
¯
¯
t = qr k γ nm D −1/β −1 /2π. (8) M k cos θ k − cos θ 0 X − M k sin θ k − sin θ 0 = 0,
f
nm,k| ˆ β 0
(14)
将式(7)和式(8)代入式(6)可得
T
t nm,k| ˆ β 其中，X = tan ϕ。定义增广状态向量 γ = [X, 1] ，
M k = . (9) 将目标方位和距离特征量的估计值代入式 (14) 可
t
nm,0| ˆ β
得
在实际应用中，如果可以获得粗略的水体声速
ˆ
ˆ
ˆ
剖面信息，使得波导不变量的估计值在合理的范围 e X,k = (M k cos θ k − cos θ 0 )X
ˆ
ˆ
ˆ
T
内，可以保证式 (3) 的条件成立，则第 n 阶和第 m 阶 − (M k sin θ k − sin θ 0 ) = g γ, (15)
k