Page 17 - 《应用声学》2020年第4期
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第 39 卷 第 4 期           董阁等: 利用频域 β-warping 变换的浅海目标航向估计方法                                    503


             简正波号数有关的常数,β 为波导不变量的真实                            简正波互相关项通过频域 β-warping后的脉冲时延
             值。假设接收信号的有效频带为 [f 1 , f 2 ],频域 β-                 为波导不变量取真实值时的 q 倍              [15] 。由式 (9) 可以
             warping 变换算子为 w(f) = Cf      −β ,C 为常数。当          看到,k 时刻的距离特征量可以表示为 k 时刻和初
                           [         ]
                             β      β
             β > 1 时,C 取 f f 2 , f 1 f  内的任意值均可保证              始时刻的第 n 阶和第 m 阶简正波互相关项对应的
                             1      2
             频域 β-warping 变换重采样后的频带包含接收信                       脉冲时延的比值。因此,波导不变量的估计误差不
             号的有效频带范围         [10] 。假定波导不变量的估计值                会影响距离特征量的估计精度。
                     ˆ
               ˆ
                                                         ˆ β
             为 β,且 β = qβ,则 w(f) = Cf     − ˆ β 。令 C = Df ,
                                                         0
             其中 D = f 1 f 2 /f 0 , f 0 ∈ [f 1 , f 2 ]。对式 (1) 进行频域  2 目标航向估计方法
             β-warping变换可得
                                                               2.1  渐近无偏最小二乘方法
                                                                   目标与观测平台在 x-y 二维平面上的运动态势
                FW {R(f)}
                √
                                      N  N                   示意图如图 1 所示。假定观测平台静止且位于坐标
                            (      )           (      )
                   dw (f)          2 ∑ ∑            − ˆ β
              =            S Cf  − ˆ β    A n Cf
                    df                                       原点,目标做直航运动,目标航向为ϕ,k 时刻的目标
                                       n=1 m=1
                                          m̸=n                 方位和距离特征量分别为 θ k 和 M k 。根据距离特征
                     (      )       −1/β  −q  q
                · A ∗  Cf − ˆ β  e jrγ nm D  f 0  f  .  (2)    量的定义和正弦定理可得
                   m
                                                                                      sin ψ
             若所选参数满足以下条件            [15] :                                      M k =       .            (10)
                                                                                      sin φ k
                                   |f − f 0 |
                        |q − 1| · max      ≪ 1,         (3)    根据几何关系可以得到
                                     2f 0
                                                                              ψ = π − (ϕ − θ 0 ) ,       (11)
             式(2)可近似为
                                                                              φ k = ϕ − θ k .            (12)
                FW {R(f)}
                                                               将式(11)和式(12)代入式(10)得
                √
                                      N  N
                            (      )           (      )
                   dw (f)          2 ∑ ∑
                                − ˆ β               − ˆ β
              ≈           S Cf            A n Cf                    M k = sin(ϕ − θ 0 )/sin(ϕ − θ k ).  (13)
                     df

                                       n=1 m=1
                                          m̸=n                            y
                     (      )            −1/β
                · A ∗  Cf − ˆ β  e j(1−q)rγ nm D                                    φ
                   m
                                                                                        ᄬಖ
                · e jqrγ nm D −1/β f 0 −1 f .           (4)                       ψ
                                                                                      ϕ k
                                                                             r 0
             根据式 (4) 可以看出,第 n 阶和第 m 阶简正波互相
             关项通过频域β-warping变换得到的脉冲时延为                                              r k
                                                                          θ 
                                                                            θ k
                                     −1/β −1
                      t     = qrγ nm D    f  /2π.       (5)                  ᜺฾ࣱԼ                  x
                       nm| ˆ β             0
                                                                        O
                 k 时刻的距离特征量定义为 k 时刻的目标距离
             与初始时刻的目标距离的比值,即                                           图 1  目标与观测平台运动态势示意图
                                                               Fig. 1 The motion state of target and observer platform
                              M k = r k /r 0 .          (6)
                                                                   假定 k 时刻的目标方位的真值和估计值分别为
             对初始时刻和 k 时刻的接收信号自相关函数分别进
                                                                    ˆ
                                                                                                        ¯
                                                               ¯
                                                               θ k 和 θ k ,距离特征量的真值和估计值分别为 M k 和
             行频域β-warping变换,可得
                                                                ˆ
                                                               M k ,将目标方位和距离特征量的真值代入式 (13),
                     t      = qr 0 γ nm D −1/β −1 /2π,  (7)
                                           f
                      nm,0| ˆ β             0                  进一步整理得
                                                                (                )    (                )
                                                                                        ¯
                                                                                              ¯
                                                                               ¯
                                                                                                     ¯
                                                                       ¯
                                                                 ¯
                     t      = qr k γ nm D −1/β −1 /2π.  (8)     M k cos θ k − cos θ 0 X − M k sin θ k − sin θ 0 = 0,
                                           f
                      nm,k| ˆ β             0
                                                                                                         (14)
             将式(7)和式(8)代入式(6)可得
                                                                                                           T
                                   t nm,k| ˆ β                 其中,X = tan ϕ。定义增广状态向量 γ = [X, 1] ,
                             M k =        .             (9)    将目标方位和距离特征量的估计值代入式 (14) 可
                                   t
                                    nm,0| ˆ β
                                                               得
                 在实际应用中,如果可以获得粗略的水体声速
                                                                                         ˆ
                                                                                 ˆ
                                                                           ˆ
             剖面信息,使得波导不变量的估计值在合理的范围                                e X,k = (M k cos θ k − cos θ 0 )X
                                                                                    ˆ
                                                                                           ˆ
                                                                              ˆ
                                                                                                  T
             内,可以保证式 (3) 的条件成立,则第 n 阶和第 m 阶                               − (M k sin θ k − sin θ 0 ) = g γ,  (15)
                                                                                                  k
   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22