Page 101 - 《应用声学》2020年第6期

第 39 卷 第 6 期 张超等： 压电陶瓷复合换能器固有频率的有限差分法 895

与之相比，有限差分法是求解变系数微分方程
0 引言
的有效手段，具有适用性强、逻辑清晰、计算机可编
超声换能器是超声振动系统中最重要的部 程程度高等显著优点 [10] 。利用有限差分法对换能
分之一 [1] 。在 1880 年居里兄弟发现压电效应以及 器固有频率进行计算，可以大大缩短数学推导过程，
1916 年法国物理学家郎之万发明压电换能器之 公式复杂程度也会得以简化，还可进一步简化计算
后 [2] ，压电陶瓷换能器因其机电转换效率高、成本 机编程过程。且有限差分法对换能器固有频率进行
低、容易成型等优势，已成为应用最为广泛的一种 计算未见相关公开报道。基于以上考虑，本文提出
换能器。压电陶瓷复合超声换能器是近几年国内外 计算换能器固有频率的有限差分法，希望能够丰富
专家学者的研究热点。事实上，压电陶瓷复合超声 换能器固有频率的研究理论，以及提供一种新的计
换能器的结构形式多种多样，例如：压电陶瓷圆管复 算方法供工程人员选择。本文推导了该换能器径向
合超声换能器 (由压电陶瓷圆管与金属预应力管组 振动的数学模型及其有限差分形式，给出了对换能
成)、镶拼式复合压电超声换能器 (由金属预应力管、 器径向振动固有频率理论计算的有限差分方法，并
可调柱形弹性胀套内芯和柱面压电陶瓷环组组成)、 分析了换能器径向振动固有频率与其结构尺寸的
宽频带压电陶瓷换能器 (由两个径向增强复合振子 影响关系。本文所建立的换能器径向振动固有频率
沿轴向叠加组成) 等 [3−5] 。该类换能器的结构形式 的有限差分法具有一定的通用性，同样适用于结构
大多是在压电陶瓷圆环 (管) 与金属圆环 (管) 的复 形式相近的换能器及其他元器件。
合结构上进行的进一步改进或集成。
为获得换能器的最佳工作状态，换能器的工作 1 换能器径向振动的有限差分形式
频率需为其固有频率，因此对换能器径向振动固有
频率的计算就显得极为重要。考虑到换能器中压电 为便于研究，做如下假设：(1) 换能器的轴向尺
陶瓷圆管与金属外圆管复合结构的典型性，本文以 寸远大于其径向尺寸，按照弹性力学中的平面应变
由径向极化的压电陶瓷圆管与金属预应力管沿径 问题 [11] ，忽略其轴向振动，将其看作纯径向振动进
向复合而成的二元压电陶瓷复合换能器为例，利用 行分析。(2) 忽略压电陶瓷圆管与金属预应力管之
有限差分法，通过对其固有频率的研究，以期说明有 间过盈量的影响。
限差分法在计算压电陶瓷复合超声换能器固有频 图1为一个由内部径向极化的压电陶瓷圆管和
率方面的可行性及准确性。相关专家对上述结构换 外部金属预应力管复合而成的压电陶瓷复合超声
能器的固有频率进行了大量研究。例如：文献[6] 基 换能器，图 1(a) 褐色部分为压电陶瓷圆管，空白部
于薄壳理论，忽略了压电陶瓷薄圆管中的径向正应 分为金属预应力管。r a 、r b 分别为压电陶瓷圆管内
力及剪切力，分析了压电陶瓷薄圆管换能器的固有 外径；r b 、r c 分别为金属预应力管内外径；h 为换能
频率。文献 [7] 对由径向极化的压电陶瓷薄壁圆管 器的高度；E r 为外界激励电压。压电陶瓷圆管和外
和金属薄壁预应力管复合而成的换能器进行了固 部金属预应力管为过盈配合。工作时，给予压电陶
有频率的相关研究。文献 [8] 研究了由压电陶瓷薄 瓷圆管以外界电压激励，激发外部金属预应力管发
壁圆管与金属预应力管所复合而成的换能器，对其
生径向振动，从而沿径向产生声波辐射。
固有频率进行了相关计算。文献 [9] 则研究了由径
向极化的压电陶瓷圆管与金属预应力管沿径向复 ԍႃᬝၬړኮ
合而成的换能器，将其近似看成力学中的平面应变 E r r a r c
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问题，分析了其纯粹的径向振动，得出了其等效电路 r a r b r c
及频率方程。针对上文中所指出的几种换能器的研 h h
究，都是基于本构方程、相容方程、波动方程，将换能
器等效为等效电路图，从而推导出换能器径向振动 ᧛࡛ᮕऄҧኮ
的频率方程。这种方法可以对换能器径向振动的固 (a) டʹڏ (b) Җ᭧ڏ
有频率进行计算，但计算过程较为繁琐，且不易于计 图 1 换能器结构示意图
算机实现。 Fig. 1 Schematic diagram of the transducer structure