Page 103 - 《应用声学》2020年第6期

第 39 卷 第 6 期 张超等： 压电陶瓷复合换能器固有频率的有限差分法 897

其中， 金属预应力管的波动方程的差分形式为

( ) 2
 r a + idr 2 2 2
q i,i−1 = , q i,i−1 u i−1 + q i,i u + q i,i+1 u i+1 = 0, (5)


i
 dr



 ( ) 2
 其中，
 2 r a + idr
 1 2
q i,i = k (r a + idr) − m − 2 

1
dr ( ) 2
 r a + idr

r a + idr  q i,i−1 = ,


  dr
 − , 
 
 dr 
  ( ) 2
 
  2 r a + idr
 ( ) 2  2 2

  q = k (r a + idr) − 1 − 2
 r a + idr r a + idr i,i 2
 dr
q i,i+1 = + ,

dr dr
 r a + idr
 ,

式中，k 1 = ω/V 1 为压电陶瓷圆管振子径向振动的  −

 dr
√ 

波数；m = a 22 /a 11 。  ( ) 2

 r a + idr r a + idr

 q i,i+1 = + .

压电陶瓷圆管与金属预应力管连续处，节点 i 0 dr dr
的差分形式为
2
r
金属预应力管外壁边界处，边界条件σ | r=r c =
1 1 2
u + q i 0 ,i 0 +1 u
q i 0 ,i 0 −1 u i 0 −1 + q i 0 ,i 0 i 0 i 0 +1 = 0, (4) 0的差分形式为
其中， 2 2
q I,I−1 u + q I,I u = 0, (6)
 I−1 I
a 11
 q i 0 ,i 0 −1 = ,

 dr
 其中，

 ( ) ( )

b 12 b 11 a 12 a 11
= − − + , b 11 b 12 b 11
q i 0 ,i 0
 r b dr r b dr q I,I−1 = − , q I,I = + .
 dr dr
 r c

 b 11

 q i 0 ,i 0 +1 = . 由以上结论，可以得到如下n阶齐次方程组：
dr
   
q 1,1 q 1,2 u 1 1
   
1
 2,1 q 2,2 q 2,3   u 1 
q

2 
 
 1   
q 3,2 q q 3,4 u
   1 
 3,3   3 
. .
 .   . 
 .   . 
   
   1  (7)
QU =    u  = 0.
q i 0 ,i 0 −1 q i 0 ,i 0 q i 0 ,i 0 +1
   . i 0 
 . . .   . 
   . 
   
 2   2 
 q I−2,I−3 q I−2,I−2 q I−2,I−1   u I−2 
   
q I−1,I−1 q u
 2   2 
 I−1,I−1 q I−1,I   I−1 
q I,I−1 q I,I u 2
I
根据本文所建立的有限差分法，可以对式 (2) ∼(6) 式 (8) 中的第 1 式和第 5 式分别对应所建立力
进行变形处理为 学模型的内外边界条件，在处理边界条件时，可以
 引入有限差分法进行边界处的节点进行数值计算；
1
 1 q 1,2 u ,
 u = − 2
1
 第2 式、第3式和第4 式可以对内部节点进行数值计
 q 1,1



 q i,i−1 q i,i+1 算。当对时间同样进行离散处理时，并给定初始位
 1 1 1
 u u ,
 u = − i−1 − i+1
i
 q 1 q 1
 i,i i,i
 移和初始速度时，可以根据所建立的有限差分法构


1 q i 0 ,i 0 −1 1 q i 0 ,i 0 +1 2
u = − u i 0 −1 − u i 0 +1 , (8) 建如图 4所示的差分网格。
i 0 q 1 q 1

 i 0 ,i 0 i 0 ,i 0 图 4 中，矩形 a 表示有限差分法进行计算时内


 2 q i,i−1 2 q i,i+1 2
 u u ,
 u = − i−1 − i+1
i
 q 2 q 2 边界处 (第 1 个节点) 是如何进行数值计算的：首先

 i,i i,i


 q I,I−1 假设内边界处节点位移为0；其次，根据初始条件计
 2 2

 u = − u I−1 .
I
q I,I 算出其他内部节点的位移；最后根据第 2 个节点对