Page 102 - 《应用声学》2020年第6期

896 2020 年 11 月


E
1.1 换能器径向振动的力学模型  S 11
a 11 = ,

 E E E E
由换能器的结构及工作原理，将换能器简化为  S S − S S
13 13
11 33



 −S E
由压电陶瓷圆管与金属预应力管组成的组合厚壁  13 ,
 a 12 =

 E E E E
筒力学模型。图 2 为压电陶瓷复合超声换能器力学 S S − S S
13 13
11 33
 S E
模型，P e 为换能器所受环境载荷。  33 ,
a 22 =

 E E E E
 S S − S S
 11 33 13 13
z 

 E Eγ


r b b 11 = 2 , b 12 = 2 ,
1 − γ 1 − γ
r c
r a
式中，u 、u 分别为压电陶瓷圆管、金属预应力管
1
2
r r
√ √
的径向位移；V 1 = a 11 /ρ 1 、V 2 = b 11 /ρ 2 分别为
P e P e
声波在压电陶瓷材料、金属材料中的径向传播速度；
ρ 1 、ρ 2 分别为压电陶瓷、金属材料的密度；σ 、σ 、
1
1
O r r θ
σ 、σ 分别为压电陶瓷圆管、金属预应力管的径向、
2
2
r
θ
E
E
E
周向应力；S 、S 、S 、S 分别为压电陶瓷的弹
E
13
11
12
33
图 2 换能器径向振动的力学模型
性柔顺常数；E、γ 分别为金属材料的杨氏模量和
Fig. 2 Mechanical model of radial vibration of
泊松比。
transducer
1.2 换能器径向振动的数学模型 1.3 数学模型的有限差分形式
固有频率是物体的固有属性 [12] ，进行换能器 利用有限差分法进行计算，需先建立换能器径
固有频率计算时换能器应处于自由振动状态，此时 向振动的离散模型。取 r − z 平面为研究平面，沿
没有外加电压激励和环境压力。针对 1.1 节所建立 径向将换能器进行离散为 I 个节点，单元长度为 dr。
的力学模型，综合压电弹性力学、厚壁筒理论可推 压电陶瓷圆管内壁处为第一个节点，压电陶瓷圆管
导出换能器径向振动的数学模型为 与金属预应力管配合处为节点 i 0 ，金属预应力管外
 2 1 2 1 1
 1 ∂ u r ∂ u r 1 ∂u r a 22 1 壁处为节点 I。图 3 为换能器径向振动的离散模型
1
 = + − u ,
 2 2 2 2 r
V ∂t ∂r r ∂r a 11 r 示意图。

 1

 2 2 2 2 2
 1 ∂ u r ∂ u r 1 ∂u r 1 2 1 1 jωt

 = + − u , 对位移函数进行分离变量，有 u = u e 、
 2 2 2 2 r r
 V ∂t ∂r r ∂r r

 2 2 2 jωt
 u = u e ，并由牛顿前差公式、中心差分公式，可
r
1 (1)
σ | = 0,
 r r=r a 得以下结论。


 2
 = 0, 在 压 电 陶 瓷 圆 管 内 边 界 处， 0 边 界 条 件
 r
σ | r=r c


 1 1 1
 u (r b , t) = u (r b , t) , = 0的差分形式为
r
 r r σ | r=r a



 1 2
σ = σ , 1 1
r b r b q 1,1 u + q 1,2 u = 0, (2)
2
1
其中，
a 12 a 11 a 11
 1 1 1 1 其中，q 1,1 = − , q 1,2 = 。
∂u u ∂u u
 1 r r 1 r r r a dr dr
 σ = a 11 + a 12 , σ = a 12 + a 22 ,
 r θ
∂r r ∂r r 压电陶瓷圆管波动方程的差分形式为
 ∂u 2 u 2 ∂u 2 u 2

 2 r r 2 r r 1 1 1 1
σ = b 11 + b 12 , σ = b 12 + b 11 , q i,i−1 u + q u + q i,i+1 u = 0, (3)
r θ i−1 i,i i i+1
∂r r ∂r r
r c֓r a
r
u↼r֒t↽
dr
   i ֓ i  i  ⇁ I֓ I֓ I
图 3 换能器径向振动的离散模型
Fig. 3 Discrete model of radial vibration of transducer