Page 104 - 《应用声学》2020年第6期

898 2020 年 11 月

r 内边界处节点位移进行覆盖计算。矩形 b 表示有限
J
差分法进行计算时外边界处(第I 个节点)是如何进
J֓ c b 行数值计算的：首先，根据初始条件计算出其他内部
t
J֓ 节点的位移；最后根据第I − 1个节点对外边界处节

点位移进行计算。矩形 c、矩形 d 则表示内部节点的
数值计算路线：某内部节点每一时刻的位移是由前
3 一时刻的 3 个节点位移及前二时刻的一个节点位移
a
2 计算所得。
d
1
1 2 3 i  I֓  I֓  I 2 换能器径向振动的特征方程
Ѻݽ౎͈ ݓᜉܫᓬག ᝠካག Я᣸ႍ ܱ᣸ႍ
图 4 差分网格 式 (7) 为齐次线性方程组，其有非零解的条件
Fig. 4 Difference grid 是系数行列式为0，即：

q 1,1 q 1,2

1
q 2,1 q 2,2 q 2,3

q 3,2 q 1
3,3 q 3,4
.
. .

(9)
|Q| = q i 0 ,i 0 +1 = 0.
q i 0 ,i 0 −1 q i 0 ,i 0

.
.
.

2
q I−2,I−3 q I−2,I−2 q I−2,I−1

2
q I−1,I−1 q
I−1,I−1 q I−1,I

q I,I−1 q I,I
矩阵 Q 为三对角矩阵，由高斯消元法对行列式 3 计算实例1
|Q|进行处理，可得
对压电材料为 PZT-4 和金属预应力管为铝
1 1 2 2 (10)
λ
λ
2 3
λ 1 λ λ · · · λ i 0 · · · λ I−2 I−1 I = 0, 合金的换能器进行固有频率计算，以期验证有
其中， 限 差 分 法 的 可 行 性 及 准 确 性。 其 材 料 参 数 为：
 3 E −12 2 E
λ 1 = 1, ρ 1 = 7500 kg/m ，S 11 = 12.3 × 10 m /N，S 12 =


2
 −12 2 E −12 m /N，
 q i−1,i −4.05 × 10 m /N，S = −5.31 × 10
 1 1 13
λ = q i,i − q i,i−1 1 ,

 i
3
2
 λ i−1 S E = 1.55 × 10 −12 m /N，ρ 2 = 2700 kg/m ，
 33


 10 3
 i = 2, 3, · · · , i 0 − 1, E = 7.15 × 10 N/m ，γ = 0.34。其结构参数




 为：r a = 21 mm，r b = 26 mm，r c = 31 mm，

 q i 0 −1,i 0
− q i 0 ,i 0 −1 , i = i 0 ,
λ i 0 = q i 0 ,i 0 1
λ l 1 = l 2 = 34 mm。
i 0 −1


 q i−1,i 利用数值仿真软件进行编程，取不同的节点数
 2 2
 λ = q ,
 i i,i − q i,i−1 2
 λ
 i−1 以检验是否满足计算精度。节点数与固有频率关系




 i = i 0 + 1, 3, · · · , I − 1, 曲线如图 5 所示。由图 5 可以看出，随着节点数的





 增加，固有频率也随之变大，直至接近某一固定值。
 q I−1,I
 , i = I.
λ I = q I,I − q I,I−1 2
λ 针对该计算实例，可以看出，节点数从 2001 个开始，
I−1
方程 (10) 即为换能器径向振动的特征方程，求解方 固有频率变化非常缓慢，有限差分法达到一定的精
程(10)即可得换能器径向振动的n − 1阶固有频率。 度要求。为保证计算结果的准确性，取计算节点为