Page 91 - 《应用声学》2022年第1期

第 41 卷 第 1 期 孔媛媛等： 非线性兰姆波在阶梯板中传播的有限元仿真 87

表 2 采样信息 率分别为
Table 2 Sampling parameters
k p+1 =

2πp M
M N f s /m −1 f s/Hz ∆x/m ∆t/s  f , p = 0, 1, · · · , − 1,
′
′

 s
 M 2


1000 45569 1000 7.35×10 7 1×10 −3 1.36×10 −8 
2π(M − p)

′
− f , (6)
s
M

经过二维离散傅里叶变换得到位移信号在相  ( )


 M M

空间的分布矩阵 ˆ u [p + 1, q + 1] = ˆ u (k p+1 , f q+1 )。  p = 2 , 2 + 1 , · · · , (M − 1),

考察二维傅里叶变换的对称性，根据式(2)，有 q N
f q+1 = f s , q = 0, 1, · · · , . (7)
N 2
ˆ u[M − p, q + 1]
当 M 或 N 为奇数时，将 M/2、N/2 分别替换成
M−1 N−1
∑ ∑ (M + 1)/2、(N + 1)/2 即可，由二维傅里叶变换的
= u[j + 1, k + 1]
对称性，频率轴只有一半的有效值，只取频率轴的
j=0 k=0
[ ( )]
2π 2π 前半部分。频率波数域的转换关系对应图 2(a) 和
× exp − i (M − p)j + qk
M N 图 2(c)，相空间的上半部分的波数为正值，下半部分
M−1 N−1
∑ ∑ 的波数为负值，图 2(a) 中 M 和 N 均为偶数，图 2(c)
= u[j + 1, k + 1]
中M 和N 均为奇数。为了和频散曲线相对照，需要
j=0 k=0
[ ( )]
2π 2π 整体交换上下平面的顺序，使波数的零点位于波数
× exp − i − pj + qk , (5)
M N 轴的中间，交换后的结果如图 2(b) 和图 2(d) 所示。
故 ˆ u[p + 1, q + 1]和 ˆ u(M − p, q + 1)代表频率、波数 此时第(p+1)行元素对应的波数为
大小相同，传播方向相反的两列行波的幅值，这两个 2π ( M )
k p+1 = p − f ,
′
s
元素在图 2(b) 和图 2(d) 中关于波数为零的坐标轴 M 2
对称。第 (p+1) 行第 (q+1) 列元素对应的波数和频 p = 0, 1, · · · , (M − 1). (8)
 
f/ f/ f s f/ f/ f s


k/ ϕ
k/֓pf s
ฉ஝ܙܸ ฉ஝ܙܸ
᠇Ք͜୧ ൤Ք͜୧
p
k/pf s ϕ ֓ f s k/֓ p
M M ϕ f s
ϕ k/
k/֓pf s
ฉ஝ܙܸ ฉ஝ܙܸ
൤Ք͜୧ ᠇Ք͜୧
p
k/֓ ϕ f s k/pf s ϕ ֓ p
M M f s
(a) M˞Ϧ஝ ԫ૱kᣉگಖҒ (b) M˞Ϧ஝ ԫ૱kᣉگಖՑ
N֓ N֓
k/ k/
f/ N f s M֓ f/ N f s
k/ k/֓ p ϕ f s
M
ฉ஝ܙܸ ฉ஝ܙܸ
᠇Ք͜୧ ൤Ք͜୧
M֓ p
k/ p ϕ f s k/֓ ϕ f s
M M
M֓
k/֓ p ϕ f s k/
M ฉ஝ܙܸ
ฉ஝ܙܸ ᠇Ք͜୧
൤Ք͜୧
p M֓
k/֓ ϕ f s k/ pf ϕ s
M M
(c) M˞݉஝ ԫ૱kᣉگಖҒ (d) M˞݉஝ ԫ૱kᣉگಖՑ
图 2 二维离散傅里叶变换矩阵与频率波数的对应关系
Fig. 2 Matrix obtained by discrete 2D Fourier transform and its relationship between wave number and frequency