Page 96 - 《应用声学》2022年第1期
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综上所述，仿真得到的二维傅里叶变换结果与 真，各个传播距离接收到的时域波形图如图 10 所
理论频散曲线相吻合，S0 模式的基频兰姆波激发出 示。可以观察到，在厚度突变处，部分兰姆波发生反
了 S0 模式的二次谐波。同时仿真所得的二次谐波 射，且反射波的振幅随着厚度差的增大而增大，入射
的增长周期也与理论预测基本吻合，误差在 5% 以 波和透射波的相速度和群速度保持不变。其中入射
下，验证了仿真程序的正确性。 波和透射波的群速度约为 5230.4 m/s，反射波的群
速度约为 −5437.0 m/s。对每个接收点处的时域信
4 S0模式非线性兰姆波在阶梯板中传播的 号进行傅里叶变换，取二次谐波信号，可以得到兰
有限元仿真结果 姆波的二次谐波随传播距离的变化规律，如图 11所
示，可以看到，传播距离为 0 ∼ 500 mm 时，二次谐
4.1 基本传播规律 波的振幅剧烈的抖动，表示不同接收点处入射和反
材 料 参 数 不 变， 固 定 激 发 信 号 的 中 心 频 射波包的傅里叶变换结果。传播距离大于 500 mm
率为 150 kHz， 只改变两个阶梯板之间的厚度 时，兰姆波的累积效应随着厚度差的增大而增大，此
差 height_dif， 分 别 将 厚 度 差 设 置 为 3600 µm、 处 S0 模式的基波和二次谐波的相速度匹配程度随
2400 µm、1800 µm、1200 µm、600 µm、0 进行仿 着频厚积的减小而增大，累积效应增大。
0 0 0
ᫎ/(10 -4 s) 1 ᫎ/(10 -4 s) 1 ᫎ/(10 -4 s) 1
2 2 2
200 400 600 800 1000 200 400 600 800 1000 200 400 600 800 1000
͜୧ᡰሏ/mm ͜୧ᡰሏ/mm ͜୧ᡰሏ/mm
(a) ᰴएࣀ˞600 µm (b) ᰴएࣀ˞1200 µm (c) ᰴएࣀ˞1800 µm
0 0 0
ᫎ/(10 -4 s) 1 ᫎ/(10 -4 s) 1 ᫎ/(10 -4 s) 1
2 2 2
200 400 600 800 1000 200 400 600 800 1000 200 400 600 800 1000
͜୧ᡰሏ/mm ͜୧ᡰሏ/mm ͜୧ᡰሏ/mm
(d) ᰴएࣀ˞2400 µm (e) ᰴएࣀ˞3000 µm (f) ᰴएࣀ˞3600 µm
图 10 不同阶梯高度下的位移时域仿真结果
Fig. 10 Simulated time-domain displacement signal with different step heights
4.2 模态分析 行，分别进行二维傅里叶变换。图 12 是入射和反射
由于兰姆波在不同厚度的板中的频散关系 波的波数 -频率域分布情况，即对前 500 行位移信
不同， 需要对传播距离小于 500 mm 以及大于 号的傅里叶变换结果；图 13 是透射波的波数 -频率
500 mm 的时域位移信号分别进行二维傅里叶 域分布情况，即对后 500 行位移信号的傅里叶变换
变换。设仿真所得的所有信号为 u (x i , t j )，其中 结果。图 12 和图 13 上均叠加了理论频散曲线，可
0 6 x i 6 1000 mm，0 6 t j 6 6 × 10 −4 s，空间采 以看到，图 13 叠加了厚度为 4 mm 时的频散曲线，
样率为 1 mm，仿真结果可以组成一个 1000 行的矩 图 12上叠加的频散曲线各不相同，其对应的厚度为
阵，对这个矩阵进行分块，分成前 500 行和后 500 (4 mm-height_dif)，即薄端的频散关系。
