Page 97 - 《应用声学》2022年第1期

第 41 卷 第 1 期 孔媛媛等： 非线性兰姆波在阶梯板中传播的有限元仿真 93

3.0 图12中可以观察到两个方向的传播模态，既有
600 mm 波数为正的模态也有波数为负的模态，说明在厚端
1200 mm
̄൓ៈฉᮠဋੇѬ/(10 -5 mm·s) 2.0 3000 mm 每个传播方向又可以观察到基频波和二次谐波成
2.5
1800 mm
2400 mm
出现了两个方向传播的兰姆波，即入射波和反射波。
3600 mm
1.5
分，分别对应 150 kHz 和300 kHz，所有模态都与 S0
模态的频散曲线重合，说明两个方向传播的基波和
1.0
0.5
个模态的能量大小，反射波的二次谐波能量随着阶
0 二次谐波均为 S0模式。色阶图也分别反映出了这 4
0 200 400 600 800 1000 梯板的厚度差不断增大。图 13 中只能观察到一个
͜୧ᡰሏ/mm
方向的传播模态，只有入射波，随着厚度差的增大，
S0 模式的频散曲线在低频处越趋向于一条直线，透
图 11 二次谐波幅值随着传播距离的变化
射波二次谐波的幅度不断增大，而且也更容易滋生
Fig. 11 Variation of the amplitude of the second
harmonic wave with respect to propagation dis- S0 模式的高次谐波，因为此时各个高阶模态的相速
tance 度几乎相同，满足相速度匹配的条件。

2
2
2
/ m ·s) / m ·s) / m ·s)
50 50 50
-600 45 -600 45 -600 45
40 40 40
-400 -400 -400
35 -200 35 -200 35
ฉ஝/m -1 0 25 ฉ஝/m -1 0 25 ฉ஝/m -1 0 25
-200
30
30
30
20
20
20
200
15 200 15 200 15
400 10 400 10 400 10
600 5 600 5 600 5
0 0 0
150 300 450 150 300 450 150 300 450
ᮠဋ/kHz ᮠဋ/kHz ᮠဋ/kHz
(a) Height_dif=600 µm (b) Height_dif=1200 µm (c) Height_dif=1800 µm
2
2
2
/ m ·s) / m ·s) / m ·s)
50 50 ŀ К࠱S0۳ฉ 50
-600 45 -600 45 -600 Ł Ԧ࠱S0۳ฉ 45
40 40 40
-400 35 -400 35 -400 ł 35
ฉ஝/m -1 -200 0 30 ฉ஝/m -1 -200 0 30 ฉ஝/m -1 -200 0 ŀ ł К࠱S0̄൓ៈฉ 30
25
25
25
Ń Ԧ࠱S0̄൓ៈฉ
20
20
20
200
15 200 15 200 Ł 15
400 10 400 10 400 Ń 10
600 5 600 5 600 5
0 0 0
150 300 450 150 300 450 150 300 450
ᮠဋ/kHz ᮠဋ/kHz ᮠဋ/kHz
(d) Height_df=2400 µm (e) Height_dif=3000 µm (f) Heght_dif=3600 µm
图 12 入射和反射波二维离散傅里叶变换结果
Fig. 12 2D discrete Fourier transform of incident and reflected waves
4.3 透射和反射系数的计算和分析 二次谐波的透射和反射系数，实线为基波、虚线为
基于图 12 和图 13 所示的二维离散傅里叶变换 二次谐波。阶梯板厚度差增大，向薄端入射的基波
结果，可以分别提取出入射、反射和透射的基波和 幅值整体呈下降趋势，反射系数单调增加。随着阶
二次谐波振幅。利用公式 (15) 可以计算出不同频 梯板厚度差增大，二次谐波的透射系数先增大后减
率、不同传播方向模式兰姆波通过横截面的能流大 小，且出现了透射、反射系数大于 1 的情况，这与能
小，相应的透射和反射系数与能量转换关系，入射 量守恒关系并不矛盾，根据公式 (16) 的定义，透射
和反射系数的定义见公式 (16)。图 14 分别为基波、 和反射系数中的分母均为入射二次谐波的能流大