Page 152 - 《应用声学》2022年第3期

474 2022 年 5 月

的主瓣对准到相同的仰角方向，同时无需改变相位 器单元产生的声强为
角分布。增加阵列直径，虽然在减小增益角度的同 P n (r, φ, z, t) = (A 0 /R n )e −jωt jkR n ±jϕ 0n . (10)
e
e
时旁瓣的数目有所增加，能量也有一部分的损失，但
所 以 整 个 UCA 阵 列 在 位 置 p(r, φ, z) 处 的
增加的旁瓣角度比主瓣宽很多，并且旁瓣增益也比
场强为
主瓣弱很多，所以产生的影响在实际检测过程中并
N ( )
∑
不重要 [28−29] 。 p total (r, φ, z, t) = e −jωt A 0 e jkR n ±jϕ 0n ,
e
对 L-G 型 OAM 波束具有 e −jlφ 的依赖性方位 n=1 R n
角，在柱坐标下场分布的表达式如(7)所示： (11)
[
其 中， R n 代 表 传 播 距 离， R n = (r cos φ −
u l,p (r, φ, z) = ] −1
2
2
a cos φ 0n ) + (r sin φ − a sin φ 0n ) + z 2 。由公
[ ( )] |l| ( 2 )
√ r 2r
w 0 l 式 (6) 可知，OAM 螺旋波束具有内在的正交特性，
C pl 2 L p 2
z R w(z) w(z) w (z)
[ 2 2 ] 即两个 OAM 波束幅度的标量积为
−r −j(2p+|l|+1) jkr ∫
× exp + − ∗
2
2
2
w (z) tan(z R /z) 2z(1 + z /z ) (u l1,p , u l2,p ) = u (r, φ, z)u (r, φ, z)rdrdφ
R l1,p l2,p
× exp(−jlφ), (7) ∫ 2
 |u l1,p | rdrdφ, l 1 = l 2 ,

其中，r 表示检测点到辐射轴的辐射距离，φ 表 = (12)

示方位角，z 表示传播距离；w(z) 代表 z 处的波束  0, l 1 ̸= l 2 ,
√
2
宽度，w(z) = ω 0 1 + (z/z R ) ，ω 0 为束腰半径， 式 (12) 说明对于任意两个不同模式 (l 1 ̸= l 2 ) 的
z R = πω 0 /λ 表示 Rayleigh 距离，λ 为波长；C pl 为 OAM 波束 u l1,p 和 u l2,p ，当 p 为固定值时，理论上
√
拓扑模式的能量分配系数，C pl = A p!/(p + |l|)!， 两者的相关度为0，即满足相互正交特性 [35] 。
l
A 为总辐射能量 [29−31] ；L 代表一般 Laguerre 多项
p
z
式，k 表示波矢量，k = 2π/λ，l = 1, 2, · · · , L 表示拓
扑模式数，p表示径向节点数。
经过研究证明，通过水声换能器能够产生涡旋
r
声波 OAM，将 N 个换能器单元以相同间隔的相位 p↼r֒ϕ֒z↽
角均匀地放置在半径为a 的圆周上，以相同频率、相
同相位差的信号源接入换能器单元 [32−33] 。
2 阵列单元设计 R n R  y
如 图 1 所 示， 空 间 坐 标 角 上 角 距 间 隔 为
∆φ = 2π/N，第 n 个换能器单元的坐标位置为
Dϕ
T n (a, φ 0n , 0)，其中φ 0n = (n−1)∆φ = (n−1)2π/N。 S n ↼a֒ϕ n ֒↽ a x
对具有固定相位差 ∆ϕ l = 2πl/N 的单频信号源，N
个换能器总相位差为2πl，声源数 N 和拓扑模式数 l
之间的限制关系为 图 1 单一模式轨道角动量的 UCA 设计图
[ N − 1 ] Fig. 1 UCA design drawing of single-mode orbital
|l| = Fix . (8)
2 angular momentum
即为产生拓扑模式 l 的涡旋声波，至少需要的换能
根据涡旋声波的声场理论，采用仿真软件分析
器单元数目为 N min = max(2|l| + 1, 4) [34] 。由第 n
L-G 型涡旋波束的时空分布，通过对波束幅度和相
个换能器单元产生的声压可以表示为
位的分析，得到幅度、相位以及波束归一化方向图，
P 0n (a, φ 0n , 0, t) = A 0 e −jωt ±jϕ 0n , (9) 基于得到的幅度、相位、归一化方向图，进一步分析
e
其中，A 0 、ω、ϕ 0n 分别表示幅度、角频率和初始频率。 声波辐射源数量、辐射声源频率、圆形阵列构型对
在阵列平面的上方位置 p(r, φ, z) 处，由第 n 个换能 不同拓扑模式数的涡旋声波的性能影响。