Page 16 - 《应用声学》2022年第4期

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压、并估计其互谱矩阵时定位算法的性能表现。仿 γ 0 (r, z) , γ 1 (r, z) , · · · , γ Q−1 (r, z)为展开系数，其自
真讨论了输入为单拍、不同信噪比下算法的定位准 变量为位置坐标；Q 为随机多项式的展开项数，L 为
确率和输出峰均比，比较了蒙特卡洛统计和随机多 独立随机变量的个数，N 为展开的截断幂次，三者
项式展开估计拷贝场声压互谱矩阵的计算耗时。结 关系为Q = (L + N)!/L!/N!。
果表明，在浅海海水深度 -声速剖面为负梯度且声 由于随机变量为高斯型随机变量，展开基对应
传播路径上的二维声速存在起伏的环境中，在低频、 为埃尔米特多项式，当随机变量的个数L = 2、展开
水平声传播一定距离内，随机多项式展开法可以准 截断幂次 N = 2 时，埃尔米特随机多项式的函数形
确估计垂直阵接收声压的互谱矩阵，且计算效率较 式如表1所示。
蒙特卡洛统计方法提高十倍以上；多特征向量约束 表 1 埃尔米特随机多项式的函数形式
的最小方差匹配场处理器可以实现比线性匹配器 Table 1 Hermite polynomials
和最小方差无失真匹配器更高的定位准确率和输
随机多项式下标编号 q 埃尔米特型随机多项式基底 p q (ξ)
出模糊度峰均比。
0 1
1 ξ 1
1 随机多项式展开多特征向量约束匹配器
2 ξ 2
√
2
假设二维柱坐标系中，r 是声传播水平方向的 3 (ξ − 1)/ 2
1
坐标，z 是海水深度方向的坐标。c(r, z, ξ) 是线性 4 ξ 1 ξ 2
√
5 (ξ − 1)/ 2
2
内波扰动下声传播路径上的海水声速，其中矢量 2
ξ = [ξ 1 , ξ 2 , · · · , ξ L ]，ξ 中的元素为相互独立且服从 随机多项式展开基在概率空间上相互正交，
∫ ∞
标准正态分布的随机变量。二维声传播路径上的
p q (ξ) p q (ξ) ρ(ξ)dξ = δ qq ,
′
′
海水声速表示为平均声速 ¯c(z) 与扰动量 δc(r, z, ξ) −∞
′
之和： q, q = 0, 1, · · · , Q − 1,
−L/2
∗
ρ (ξ) = (2π) exp (−ξξ /2) , (4)
c (r, z, ξ) = ¯c(z) + δc(r, z, ξ). (1)
其中，ρ(ξ) 为高斯型独立随机变量的联合概率密度
在深度上只保留第一阶经验正交函数 [36] 时，
函数，δ qq 为Kronecker函数。
采用Karhunen Loève展开 [25] 表示声速扰动量为 ′
对于随机多项式展开基的具体构造方法及其
L
∑ √
δc (r, z, ξ) = eof (z) λ l ϕ l (r)ξ l , (2) 性质，读者可参考文献[14]。
l=1 在 宽 角 声 学 抛 物 方 程 中， 复 声 压 的 包 络
其 中， eof(z) 为 海 水 声 速 的 主 经 验 正 交 函 U(r, z, ξ)满足方程
数；λ 1 , λ 2 , · · · , λ L 为经验正交函数展开系数的 ∂U (r, z, ξ) ( √ )
= ik 0 1 + X − 1 U (r, z, ξ) , (5)
Karhunen Loève 展 开 特 征 值， L 为 展 开 项 数； ∂r
ϕ 1 (r), ϕ 2 (r), · · · , ϕ L (r)为展开基。 其中，算子X 在声速存在随机扰动时近似为
( )
本文采用了结合宽角抛物方程的嵌入型方 X = 1 ρ ∂ ρ −1 ∂ + k (z) − k 2
¯ 2
k 2 ∂z ∂z 0
法 [21,24] 计算频域复声压的随机多项式展开系数。 0
2
2c δc (r, z, ξ)
假设某频点空间位置 (r, z)处复声压 P (r, z, ξ) 的随 − 0 . (6)
3
¯ c (z)
机多项式展开为
将式 (6) 代入到声学宽角抛物方程 (5) 中，并使用
exp (ik 0 r) [37]
P (r, z, ξ) = √ U (r, z, ξ) Padé近似 表示式(5) 中的宽角抛物方程算子。
r
之后，将复声压包络的随机多项式展开级
Q−1
exp (ik 0 r) ∑
≈ √ γ q (r, z) p q (ξ), (3) 数式 (3) 代入式 (5) 中，使用盖辽金投影，对式 (5)
r
q=0 式两端依次乘上 p 0 (ξ), p 1 (ξ), · · · , p Q−1 (ξ) 并作期
其中，k 0 为参考波数；U (r, z, ξ) 为复声压的包络； 望。投影保证了复声压包络的展开误差正交于
{ }
p q (ξ) q = 0, 1, · · · , Q − 1 为展开基底函数集 随机多项式基底张成的函数空间。计算结果得
合，函数自变量为描述海水声速起伏的随机变量； 到 位 置 (r, z) 处， 复 声 压 包 络 展 开 系 数 γ 0 (r, z),