Page 17 - 《应用声学》2022年第4期

第 41 卷 第 4 期 王翰卓等： 随机多项式展开多特征向量约束 -匹配场声源定位算法 515

T
γ 1 (r, z), · · · , γ Q−1 (r, z) 的 Q 个耦合微分方程组，结 定义期望响应向量 q = [q 1 , q 2 , · · · , q D ] ，求解
合RAM模型的数值方法可对之求解 [37−38] 。 式(10)得到匹配器的加权向量为
假设声源的真实位置为 (r s , z s )，固定位置的 −1 ( ∗ −1 ) −1
w = R e H H R e H q. (11)
水听器阵列接收声信号某频点的复声压列向量为
对应匹配器输出归一化后的平面模糊度函数为
P (r s , z s , ξ)，复声压互谱矩阵R e (r s , z s )定义为
( −1 ) −1
∗
Z EPC (ˆr s , ˆz s ) = q ∗ H R H q. (12)
e
R e (r s , z s )
当位置估计 (ˆr s , ˆz s ) = (r s , z s ) 时，匹配器输出
∗
= E [P (r s , z s , ξ) P (r s , z s , ξ)]
Z EPC (ˆr s , ˆz s )取最大值。
M
1 ∑ 期望响应向量q 的选择决定了匹配器的定位准
∗
≈ P m (r s , z s , ξ) P (r s , z s , ξ), (7)
m
M 确率和输出增益。通常期望响应向量的选择有最大
m=1
等式最右端为使用 M 拍实验数据对声压互谱矩阵 化平均的空间白噪声增益和最大化最小的空间白
q
的估计，P m (r s , z s , ξ) 代表第 m 拍的拷贝场复声压 噪声增益两类 [5] 。假设静态加权向量为 w ，前者使
得匹配器输出增益
向量，其中上标∗代表共轭转置。
∗
q
若声源位置的估计为 (ˆr s , ˆz s )，接收水听器位置 G = w R c w q (13)
∗
q
w w q
拷贝场复声压的互谱矩阵为 R c (ˆr s , ˆz s )，R c (ˆr s , ˆz s ) T
最大，对应w = h 1 ，对应q = [1, 0, · · · , 0] ；后者选
q
特征值分解如式 (8) 所示，其中构成信号子空间的
择静态加权向量以获得最差最优增益
D 个特征值由大到小分别为λ 1 , λ 2 , · · · , λ D ，对应的 [ ]
∗ q 2 (14)
特征向量为 h 1 , h 2 , · · · , h D 。二者分别组成矩阵 Λ max min |P (ˆr s , ˆz s , ξ) w | ,
w q ξ
和矩阵 H。一般情况下，信号子空间特征值与特征
∗
q
q
且 w w = 1。式 (14) 意味着在声速随机变量 ξ 的
向量的数目远小于接收水听器的数目。
所有的抽样中，选择 w 使其最小的输出增益最大
q
R c (ˆr s , ˆz s ) ≈ HΛH ∗ 化。该方法没有显式形式的静态加权向量解。
由于对匹配器的定位准确率、输出峰均比的评
   
λ 1 h ∗ 1
    价定义在声速随机变量集平均意义上，且为了最大
   ∗ 
2
 λ 2   h  化发挥随机多项式展开方法对匹配场算法效率的
= [h 1 , h 2 , · · · , h D ]     . (8)
.
 . .   . 
 .   .  提升，本文研究选择最大化平均的空间白噪声增益
   
T
λ D h ∗ D 下的期望响应，即q = [1, 0, · · · , 0] 。
上述算法需要对二维空间划分的每个网格点
设声源位置估计为 (ˆr s , ˆz s ) 时多特征向量约束
上对拷贝场复声压互谱矩阵 R c (ˆr s , ˆz s ) 进行估计。
的环境宽容自适应匹配场处理器 [2−5] 的权系数向
在一定条件下，随机多项式展开方法可以替代蒙特
量为 w (ˆr s , ˆz s )，设计权向量 w (ˆr s , ˆz s ) (以下简写为
卡洛统计方法，更高效地估计互谱矩阵。蒙特卡洛
w)使得匹配器的输出功率最小，同时对权向量作如
统计方法如式 (7)，需要多次抽样生成声传播路径上
下约束：
随机的海水声速，并计算阵列位置处复声压的互谱
∗
w h 1 = q 1 , 矩阵。式(7)中，当抽样次数 M 足够多时，声压互谱
∗
w h 2 = q 2 , 矩阵的统计估计值将接近真实值，估计误差的收敛
. . . (9) 速度正比于 M −1/2 ，即抽样次数的 −1/2 次幂；采用
w h D = q D , 随机多项式展开方法，若第 i 个水听器位置处拷贝
∗
场随机复声压为 P i ，第 j 个水听器位置处拷贝场随
其中，q 1 , q 2 , · · · , q D 代表各约束点的期望响应。问
机复声压为 P j ，利用式 (4) 中随机多项式的正交性，
题转化为优化式 (10) 中的函数，其中 c 1 , c 2 , · · · , c D
两处复声压的互谱即拷贝场互谱矩阵 R c (ˆr s , ˆz s ) 第
为拉格朗日乘子。
i行第j 列元素数值为
[ ]
D
∑ [ ∗ ]
∗
∗
min w R e w + c d (w h d − q d ) . (10) (R c ) = E P i (r s , z s , ξ) P j (r s , z s , ξ) = γ i γ ,
∗
j
ij
w
d=1 (15)