Page 47 - 《应用声学》2023年第3期

第 42 卷 第 3 期 袁笑等： 基于最小 Csiszár’s I-散度的高精度深度定位方法 485

2
M
∑
1 理论模型 B(r, z) = s a i , (6)
∗
i

i=1
1.1 模态波束形成 其中，B 是关于水平距离r 和深度 z 的波束输出。s i
模态波束形成将模态滤波和波束形成处理结 代表第i阶模态的导向矢量：
合，实际上是一种工作在模态域的波束形成方法。 s i = exp(−ik i r)φ i (z). (7)
对于绝热简正波声场，距离信息只包含在信号的 公式 (6) 将在声源的实际水平距离和深度处取得最
相位中，而深度信息包含在本征函数里，可以对 大值。当取得的简正波号数较大时，对于水平距离
垂直阵接收到的数据进行处理，分离出各阶模态 和深度的定位来说，分别有
幅度和相位，再应用传统波束形成 (Conventional M 2
∑
e ik i (r−r s ) (8a)
beamforming, CB) 方法原理，从而在模态域估计声 B(r, z s ) ∼ ∼ δ(r − r s ),
i=1
源的水平距离和深度。

M 2

由垂直阵接收到的声场可以表示成各号简正 ∑ ∗
i
B(r s , z) ∼ φ (z)φ i (z s ) ∼ δ(z − z s ). (8b)
波的叠加形式： i=1
∑ 可以认为，模态波束形成关于声源水平距离和
p(z j ) = φ i (z j )a i ,
i 深度的定位函数公式(8a)和公式(8b)是CB在模态
i = 1, · · · , M, j = 1, · · · , N, (2) 域的推广。模态波束形成方法能够实现声源定位的
其中，N 代表垂直阵中的水听器个数，M 代表总的 前提是已知各阶模态的幅值大小和相位。水平距离
简正波号数 (高阶简正波被视作噪声)；φ i (z j ) 代表 和深度的估计精度很大程度上依赖于对向量 A 估
深度为 z j 时第 i 号模式的幅度；这里忽略海洋中的 计的准确度。公式(5)是一个准确的结果，但通常是
+
环境噪声。模式系数a i 是关于声源水平距离和深度 奇异的，也就是说矩阵E E 通常会有一些接近0的
+
的函数： 本征值，这时可以直接用 E P 对向量 A 近似估计，
但定位结果就不够准确。如何对向量A进行准确估
a i = (2π/k i r s ) 1/2 φ i (z s ) exp(−ik i r s ), (3)
计不在本文的考虑范围内。
其中，r s 和 z s 分别代表声源的水平距离和深度，k i
1.2 最小Csiszár’s I-散度的迭代算法
代表第i号简正波的水平波数。参考公式(2), φ i (z s )
可被称作模式深度幅度，a i 为模式距离幅度，或者简 Csiszár’s I-divergence 是信息论中一种刻画
单地说是模式幅度。模式深度幅度 φ i (z s ) 和水平波 两个非负函数间差异的测度，也是积分区间不
数k i 可以通过简正波程序计算得到，但是模式幅度 相等的两个函数间 Kullback-Leiber 距离的推广。
a i 是未知的，须从实验数据中获得。 Csiszár [17] 总结道如果需要比较的两个函数是非负
从实验数据中得到模式幅度被称作模式分解 的，他提出的 I-散度测度是唯一契合其提出公理的
或者模式滤波，其原理是利用各号简正波间的正交 差异测度。对于非负的线性求逆问题，Synder 等 [16]
性，通过空间积分将声场投影到模式空间，从而从 提出了一种最小差异测度的算法，该算法生成的序
列具有许多良好的特性，如保证序列中每个估计值
实验数据中得到各号简正波的模式幅度。将声场
的非负性、单调收敛至全局最小值等，并且已经被应
p(z j ) 写成 N 维向量的形式 P ，同样模式幅度 a i 可
用在各种领域，例如，Lucy [18] 和 Richardson [19] 将
以写成 M 维向量的形式 A，那么公式 (2) 写成矩阵
其应用到图像恢复问题中。Yang [20−21] 将该序列应
的形式为
用到目标的方向估计问题，以实现目标方位估计的
P = EA, (4)
高精度和基于短阵列的超分辨率性能；在他讨论的
其中，E 是 N × M 维矩阵，每个矩阵分量 E ji = 问题中，类似于公式(1)，CB的波束能量可以表示成
φ i (z j )。模式幅度向量A为 波束方向图案和声源 (包括噪声) 分布的卷积形式，

+
+
A = (E E) −1 E P . (5) 其等同一个线性系统，
得到模式幅度向量 A 后，应用模态波束形成 B CBF (sin θ)
∫ 1
(一种在波数域的求和延时算法) 可以估计声源
= Bp(sin θ| sin ϑ)S(sin ϑ)d sin ϑ. (9)
位置： −1