Page 9 - 《应用声学》2023年第3期

第 42 卷 第 3 期 李鑫等： 水平线列阵方位 -相速度联合的卡尔曼滤波方法 447

 
其中，ε β (k) 表示测量噪声，满足零均值高斯分布，
r xw (k + 1) − r xw (k) − Tv xw (k)
  2
ε β (k) ∼ N(0, δ (k))。由于系统的观测方程非线性，
  β
 r yw (k + 1) − r yw (k) − Tv yw (k) 
因此对其进行泰勒级数展开取其一阶项来进行测
 
 
v xw (k + 1) − v xw (k)  .
U(k, k+1)=
量方程的线性化。一阶泰勒级数展开：
 
 
v yw (k + 1) − v yw (k)
 
  ∂g(X k )
′
H = =
0 k ∂X k
X k =X k+1|k
[ ]
k 时刻，选取参考声速为 c 0 ，β 0 (k) 为按照此参考声 ∂g(X k ) ∂g(X k ) ∂g(X k ) ∂g(X k ) ∂g(X k )
,
速，利用波束形成获得的舷角估计值，β b (k) 为对应 ∂r x,k ∂r y,k ∂v x,k ∂v y,k ∂c s,k
相速度c s (k)的舷角真实值，则满足： (25)
sin(β 0 (k)) sin(β b (k)) 其中：
= . (21)
c 0 c s (k) ∂g(X k ) r y,k+ 1|k
= ,
目标方位角与舷角的关系如图 4 所示，其中 r 2 + r 2
∂r x,k
x,k+1|k y,k+1|k
β(k)为第k 时刻目标方位真值，β b (k) 为第k 时刻目 ∂g(X k ) r x,k+ 1|k
= − ,
标相对于观测站的舷角真实值，β v (k)第k 时刻观测 ∂r y,k r 2 x,k+1|k + r 2
y,k+1|k
站沿x轴方向的速度v xw (k) 与观测站速度的夹角。 ∂g(X k ) ∂g(X k )
= 0, = 0,
∂v x,k ∂v y,k
y
∂g(X k ) sin (β 0 (k))
= √ .
∂c s,k ( ) 2
c s,k+1|k
ᄬಖk௑҉ͯᎶ c 0 1 − sin (β 0 (k))
β↼k↽ c 0
β b↼k↽
Cs-BO-EKF算法的迭代公式如下：
β v ↼k↽
X k+1|k = AX k|k − U k+ 1|k , (26)
᜺฾ባk௑҉ͯᎶ ᜺฾ባk௑҉ᤴए
T
x P k+1|k = AP k|k A + Q, (27)
′
P k+1|k H k+1 T
图 4 角度示意图 G k+1 = 2 , (28)
H k+1 T P k+1|k H k+1 T + δ β,k+1
′
′
Fig. 4 Angle diagram
X k+1|k+1 = X k+1|k − G k+1 g(X k+1|k ), (29)
由图4可知，目标方位角与舷角满足： ′
P k+1|k+1 = (I − G k+1 H )P k+1|k , (30)
k+1
β(k) = β b (k) + β v (k), (22)
其中，X k+1|k 为k+1时刻状态向量的预测值，P k+1|k
其中： 为k+1时刻状态向量的协方差矩阵的预测值，G k+1
( )
v yw (k) 为k + 1时刻的卡尔曼增益，X k+1|k+1 为k + 1 时刻
β v (k) = − arctan ,
v xw (k) 状态向量的估计值，P k+1|k+1 为k + 1时刻状态向量
( )
c s (k) 的协方差矩阵的估计值。
β b (k) = arcsin sin(β 0 (k)) ,
c 0
因此观测方程为 4 仿真研究
( )
c s (k)
0 = − arcsin sin(β 0 (k))
c 0 4.1 理论参考声速的计算
( )
v yw (k) 以 Pekeris 波导 为 例， 海深 100 m， 水中 声
+ arctan
v xw (k) 速 1500 m/s，海水密度 1.0 g/cm ，海底声速为
3
( )
r x (k)
3
+ arctan + ε β (k), (23) 1650 m/s，海底密度为 1.6 g/cm ，海底衰减系数为
r y (k)
0.3 dB/λ。接收阵由 24 个间隔 0.25 m 的阵元组成
可以表示为
的水平均匀直线阵，深度为 50 m。目标信号频率为
0 = g(X k ) + ε β (k), (24) 450 ∼ 550 Hz，深度为 25 m，角度为 30 。分别利用
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