Page 105 - 《应用声学》2024年第1期

第 43 卷 第 1 期 贺佐潦霜等： 矩形单元声场波函数构造及其应用 101

with direct integration when calculating the external radiation sound field of a single rectangular element.
Among them, the wave function calculation efficiency of the general form and the extrapolation form in the
rectangular domain is 5–6 times higher than that of the direct integration, and the wave function calculation
efficiency in the circular domain is 12–13 times higher than that of the direct integration. In the numerical
examples of simply supported plate sound source and cubic box radiation sound source, the accuracy of the
wave extrapolation function in the circular domain is higher than that of the equivalent source method in the
whole calculation frequency band.
Keywords: Equivalent source method; Wave superposition method; Wave function; Radiated sound field

形单元积分一般形式和内推形式的波函数，以及当
0 引言
离散单元为正方形时，可将波函数进一步简化为圆
在振动结构的辐射声场计算中，边界元法 形域内推波函数。文中对比了几种波函数与直接积
分的计算精度和计算效率，并通过简支板声源和立
(Boundary element method, BEM) 是一种被广泛
方箱体辐射声源的数值仿真算例，验证了圆形域内
使用的计算方法 [1−2] 。通常使用的边界元法包
推波函数与ESM在声场计算中的效果。
括直接边界元法 (Direct-BEM) [3] 和间接边界元法
[4]
(Indirect-BEM) ，其在计算声源外部辐射声场时，
1 波叠加积分方程及其离散形式
由于需要数值积分的计算，因此计算效率较低，而
且当积分面与振动体表面重合时，会产生奇异性问 根据 WSM 理论，振动体外部 r 处的辐射声压
题 [5] ，需要使用额外的数值技术解决 [6−7] 。若将积 可以利用式(1)计算：
分面设置在振动体内部 (用于求解外问题) 或者外 ∫∫
′
p(r) = q(r E )G(r, r E )dS (r E ), (1)
部 (用于求解内问题) 的一个虚拟表面上，即可避免 S ′
奇异积分的处理，这种方法被称为波叠加法 (Wave 其中，S 为振动体内部的一个封闭虚拟曲面，q(r E )
′
superposition method, WSM) [8−9] 或修正边界元法 为虚拟面 S 上 r E 处的源强，G(r, r E ) 为自由空间
′
(Modified BEM, MBEM) [10−11] 。该方法避免了奇 Green函数：
异积分的处理，但在求解振动体辐射声场时仍需对 e −ik|r−r E |
G(r, r E ) = , (2)
离散单元进行数值积分计算，当离散单元数量较多、 4π |r − r E |
求解规模较大时，单元的积分计算会耗费大量时间。 其中，|r − r E | 为场点 r 与虚拟面上 r E 处之间的距
√
WSM 中的数值积分来自于对面源辐射声场的 离，k 为波数，i = −1。
计算，若将其用单极子点源代替，则可以得到一种无 若将虚拟面离散成N 个单元，式(1)可写为
需积分的高效率计算方法，即等效源法 (Equivalent ∑
N ∫∫
′
p(r) = q i (r E )G(r, r E )dS (r E ). (3)
i
source method, ESM) [12−13] 。但 ESM 中的单极子 S ′
i=1 i
点源是对面源辐射声场的过度简化，其计算精度 当离散的单元足够小时，可以将每一个单元的源强
和稳定性较大程度依赖于等效源位置和数目的选 q i (r E )均视为常数q Ei ，式(1)变为
择。针对以上问题，相关学者提出了优化等效源配 N ∫∫
∑
′
置 [14−15] 、采用具有指向性的射线波函数来代替单 p(r) = q Ei G(r, r Ei )dS (r Ei ), (4)
i
极子点源 [16−17] 等方法，并取得了一定的研究成果。 i=1 S ′ i
其中，q Ei 为 i 个单元的源强。式 (4) 就是常用的
但在面源简化为点源的过程中，始终存在较大积分
WSM，该方法虽然计算精度较高，但其在计算振
近似误差 [11] ，一定程度上影响了计算精度。
动体外部不同场点 r 处的声压时，需要对所有单元
针对上述缺陷，本文根据外问题中声源产生
计算 Green 函数的数值积分，导致整体的计算效率
的空间声场，总可以展开成一系列不同阶次的球
较低。
Hankel 函数与球谐波函数乘积的加权和 [18] ，构造
一种更为简化的方法是用振动体内部若干个
了一种波函数替代WSM中Green 函数在单元区域
不同源强的等效源产生的声场，代替振动体辐射的
的积分，避免了在求解振动体外部辐射声场中复杂 ∫∫
声场，即将单元积分 G(r, r Ei )dS (r Ei )(面源)
′
的积分计算。以矩形常数单元为例，推导了替代矩 S ′ i i