Page 108 - 《应用声学》2024年第1期

104 2024 年 1 月

⌢
y z 波函数。可以看出，K F (r, θ)是在K F (r, θ, ϕ)的基础
R r p 上做了进一步的简化，构造了一个与 m 项无关的波
rϕ
ρ θ 函数。并且，从式 (23) 可以看出，展开系数 C nm 由
a
ϑ 二重积分简化为一重积分 C n ，进一步缩短计算声场
L O
O x x
的时间。
S
S 2.4 三种波函数的计算精度与计算效率对比
由于本文构造的波函数与 WSM 类似，离散的
(a) xyࣱ᭧኎஍ړ۫Sᇨਓڏ (b) xz௜᭧኎஍ړ۫Sᇨਓڏ
单元位于真实边界回缩的虚拟边界上，其声压表达
⌢
图 2 正方形单元 S 的等效圆域 S 式不仅严格满足 Helmholtz 方程，且在真实边界上
⌢
Fig. 2 Equivalent circle region S of square element S 关于离散结点的声压分布还是严格满足形函数定
由于对称性，式(18)可进一步写为 义的高阶形函数 [19] ，因而相较于 BEM 所需的单元
π
∫ 2π ∫ a ∫ ∫ a 数更少，对于结构和声场较为简单的情况，有时每
G(r p , r )ρdϑdρ = 2 G(r p , r )ρdρdϑ.
′
′
0 0 0 0 个波长仅需 2 个单元即可。例如，当划分的单元为
(19) 正方形时，单元的边长L必须小于或等于半波长，即
人工边界 xz 平面上的声场可用 Legendre 正交多项 L 6 λ/2，也就是 kL 6 π。因此，本文比较 3 种波函
式函数逼近展开： 数在 kL = π/4、π/2、π的情况下与单元直接积分的
∞
∑ 拟合效果。
p(R, θ) = C n P n (cos θ), (20)
为了对比构造的 3 种波函数的计算精度和计
n=0
其中，P n (cos θ)为Legendre函数。利用Legendre函 算效率，算例选用位于 xy 平面上的正方形单元和
数的正交性可得展开系数： 圆形单元声源。正方形单元边长为 L，圆形单元的
∫ ∫ ∫
π π a √ L /π，近场人工球面半径为 L，远
2
C n = (2n + 1) G(r p , r )P n (cos θ R ) 半径为 a =
′
5
0 0 0 场人工球面半径为 10 L，单元中心点与人工球面
· ρ sin θ R dθ R dρdϑ. (21) 中心点都位于坐标原点。计算半径为 2L 的球面声
5
与式 (13) 类似，当选用一个远场人工边界 R F 时，此 场，计算的场点数目为10 个。算例中的积分均采用
时圆形单元的Green函数有近似解析表达式： Gauss-Legendre 积分，其中，直接积分计算单元声
e −ikR F 场时，每个积分变量使用 4个高斯点，计算波函数展
′ (ik x ρ cos ϕ+ik y ρ sin ϕ)
, r ) ≈ e . (22)
G(r R F
4πR F 开系数时，每个积分变量使用 20 个高斯点。值得指
将式(22)代入式(21)可得 出的是，波函数的最高阶数 n 选择合适与否对计算
∫ π
(2n + 1) J 1 (ka sin θ R F ) 结果的影响很大。图 3 为在 kL = π/4、π/2、π 的情
2 −ikR F
C n = a e
2 0 2R F ka sin θ R F 况下，不同阶数的矩形域内推波函数对应的重建声
, (23)
· P n (cos θ R F ) sin θ R F dθ R F 压相对误差，其中，相对误差由式(26) 计算：
) 为一阶贝塞尔函数。与前述同
其中，J 1 (ka sin θ R F ∥p n − p∥ 2
Error = × 100%, (26)
理，可得到圆形域外部辐射声场的等效波函数为 ∥p∥
2
∞ (2)
⌢ ∑ h n (kr) 其中，p n 为第n阶波函数重建声压向量，p为直接积
K F (r, θ) = C n (2) P n (cos θ). (24)
h n (kR F ) 分声压向量。
n=0
式(24)可进一步表示为全场坐标变量形式： 由图 3 可以看出，在 kL 分别为 π/4、π/2、π 的
∞ (2) 情况下，当波函数的阶数 n = 1 时，计算声压相对误
′
⌢ ∑ h n (k |r − r i |)
′
K F (r, r i ) = C n (2) 差较大，但随着波函数阶数的增加，相对误差呈下
h n (kR F )
n=0
( ) 降趋势；当n = 4 时，在不同情况下相对误差都小于
′
(r − r ) · z i
i
· P n . (25) 0.5%，达到了足够的计算精度。
′
|r − r |
i
由于式 (24) 的选用的人工边界位于远场，因此 进一步对比3 种波函数在不同情况下的计算精
⌢
本文把该式构造的波函数K F (r, θ)称为圆形域内推 度，表1为ϕ = π/2时，3种波函数在kL分别为π/4、