Page 107 - 《应用声学》2024年第1期

第 43 卷 第 1 期 贺佐潦霜等： 矩形单元声场波函数构造及其应用 103

其中，R 是人工边界球面上的点。由球谐函数正交 其中，sinc(x) = sin(x)/x。将式 (14) 代入式 (10) 可
归一性，将式(9)与式(7)联立，即可求出展开系数： 得
∫ 2π ∫ π
∫ +L x /2 ∫ +L y /2 ∫ 2π ∫ π L x L y e −ikR F ( )
1 1 k x L x
′
C nm = (2) G(R, r ) C nm = (2) sinc 2
h n (kR) −L x /2 −L y /2 0 0 h n (kR F ) 0 0 4πR F
( )
m k y L y m
· Y (θ R , ϕ R )dΩ R dxdy, (10) · sinc Y (θ R F , ϕ R F )dΩ R F , (15)
n
n
2
m
其 中， dΩ R = sin ϕ R dθ R dϕ R ， Y (θ R , ϕ R ) 是
n ，同理，将式 (15) 代
其中，dΩ R F = sinϕ R F dθ R F dϕ R F
Y (θ R , ϕ R )的复共轭。
m
n 入式(7)可得
(2)
为了便于后文分析，令 C nm = C nm h n (kR)，
∞ +n (2)
∑ ∑ h n (kr)
再将式(10)代入式(7)，即可得到 K F (r, θ, ϕ) = C nm Y (θ, ϕ).
m
n
(2)
h n (kR F )
n=0 m=−n
∞ +n (2)
∑ ∑ h n (kr)
m
K(r, θ, ϕ) = C nm (2) Y (θ, ϕ). (16)
n
h n (kR)
n=0 m=−n 式(16)可进一步表示为全场坐标变量形式：
(11)
∞ +n (2)
′
∑ ∑ h n (k |r − r i |)
式(11)可进一步表示为全场坐标变量形式： K F (r, r ) = C nm (2)
′
i
n=0 m=−n h n (kR F )
∞ +n (2)
′
∑ ∑ h n (k |r − r i |) ( ′ )
′
K(r, r i ) = C nm (2) · Y m (r − r ) · z i . (17)
i
h n (kR) n ′
n=0 m=−n |r − r |
i
( )
′
(r − r ) · z i
× Y m i , (12) 由于式 (16) 选用的人工边界位于远场，因此本文把
n
′
|r − r |
i 该式构造的波函数 K F (r, θ, ϕ) 称为矩形域内推波函
其中，|r − r i | 为场点 r 与单元中心点 r 之间的距 数。由式(15)可见，当选用远场人工边界时，仅需二
′
′
i
离，z i 为第i个单元在局域坐标系中z 轴方向的单位 重积分即可求出展开系数 C nm ，而一般形式波函数
向量。 在求解展开系数C nm 需要计算四重积分。当离散的
由于式 (11) 中人工边界球面是任意选取的，因 单元数目较多时，可大幅度缩短计算展开系数的时
此本文把该式构造的波函数 K(r, θ, ϕ) 称为矩形域 间，从而提高声场计算效率。当离散的单元为正方
一般形式波函数。但从式 (10) 可以看出，在计算展 形时，本文利用圆形单元替代正方形单元，进一步简
开系数 C nm 时需要求解四重积分，因此，当虚拟面 化波函数。
离散的单元不一致且数目较多时，将花费大量时间
2.3 圆形域内推波函数的构造
计算展开系数。为缩短计算展开系数 C nm 的时间，
当离散的单元为正方形单元 S 时，可用一个中
本文考虑用矩形单元的远场辐射声压解析解代替
⌢
心点相同、面积相等的圆形域 S 近似代替，则有
单元数值积分。
∫∫ ∫∫
⌢
′ ′ G(r, r )dS(r ),
′
′
2.2 矩形域内推波函数的构造 G(r,r )dS(r ) ≈ ⌢
S S
若将人工边界位于远场，即人工边界球面的半 如图 2(a) 所示。可以求得，边长为 L 的正方形单元
径R F 远大于单元尺寸。此时，矩形单元的格林函数 的等效圆域半径为a = √ L /π。
2
有近似解析表达式： 由于声场关于 z 轴旋转对称，因此仅在 xz 平面
e −ikR F 上用 Legendre 正交函数逼近实际指向性函数即可。
′ e (ik x x+ik y y) (13)
, r ) ≈ ,
G(r R F
4πR F 如图 2(b) 所示，半径为 R(R > a) 的球形人工边界
)。
其中，(k x , k y )=(k sin θ R F cos ϕ R F , k sin ϕ R F sin θ R F 上的实际指向性函数分布为 (场点 r p 选在 xz 平面
将式(13)代入矩形单元积分可得 人工边界上)：
∫ ∫
+L x /2 +L y /2 ∫ 2π ∫ a
′
, r )dS(r ) ′ (18)
′
G(r R F p(R, θ) = G(r p , r )ρdϑdρ,
−L x /2 −L y /2 0 0
( ) ( )
e −ikR F k x L x k y L y 其中，r p = (R, θ, 0) 为人工边界 xz 平面上的场点，
= L x L y sinc sinc , (14)
′
4πR F 2 2 r = (ρ, 0, ϑ)为单元内部场点。