Page 106 - 《应用声学》2024年第1期

102 2024 年 1 月

直接简化为点源 G(r, r Ei )，得到在声学计算中广泛 z
使用的ESM： ↼r֒θ֒φ↽

N r
∑
p(r) = q(r Ei )G(r, r Ei ), (5) θ
i=1 rϕ
L x ξ
S φ y
其中，r Ei 表示第 i 个等效源的位置，q(r Ei ) 为第 i个
L y
等效源的源强。
x
ESM 由于形式简单且无需积分，因此计算效
率相较于 WSM 得到了很大提高。但该方法对物理

模型过度简化，只有当等效源点位置和数目合适时 图 1 矩形单元 S 及其外域球面示意图
才可达到较高的计算精度，并且从面源简化为点源 Fig. 1 Schematic diagram of rectangular element
的近似过程始终存在较大的积分误差，影响了计算 S and its outer sphere
精度。
由于式 (6) 是一个空间中的辐射声场，因此，可
针对上述两种方法缺陷，为了尽可能减小积分
以利用 Helmholtz方程在单元局部球坐标系下的解
近似误差，提高振动体外部辐射声场计算效率，本文
∫∫ 将函数K(r, θ, ϕ)近似为如下的波函数形式：
′
采用波函数 K i (r, r Ei ) = G(r, r Ei )dS (r Ei )
i
+n
∞
S ′ ∑ ∑
i (2) m
来代替离散单元的数值积分。 K(r, θ, ϕ) = C nm h n (kr)Y (θ, ϕ),
n
n=0 m=−n
(7)
n = 0, 1, · · · , N,
2 矩形常数单元的波函数构造 m = −n, −n + 1, · · · , n,
(2)
2.1 矩形常数单元的波函数构造 其中，C nm 为球面波展开系数，h n (kr) 为第二类 n
阶球 Hankel 函数，k 为波数，Y (θ, ϕ) 为 n 阶 m 次
m
在工程实际中，对于平板或圆柱等结构的外部 n
的球谐函数，它决定了声压在不同角度的辐射属性，
辐射声场求解，可采用 WSM 设置规则的虚拟平面
其表达式为
或圆柱面替代实际声场，这种虚拟曲面通常可以被 √
划分为矩形单元；在近场声全息中，如果使用常规的 m (2n + 1)(n − m)! P (cos θ)e imϕ
m
Y (θ, ϕ) =
n n ,
平面矩形或正方形阵列，为了共形，也可将虚拟面划 4π(n+m)!
(8)
分为矩形单元。因此本文主要考虑离散单元为矩形
m
时的波函数构造。 其中，P (cos θ)为连带勒让德函数。
n
在单元局部球坐标系下考虑一个矩形单元的 一旦确定了展开系数 C nm ，矩形单元的辐射
积分，将该单元记为S，如图1所示。其中，单元的局 声场也就随之确定了。又由于单元积分和波函数
部坐标系的原点位于单元质心 ξ，坐标系的 x 轴和 y K(r, θ, ϕ) 都满足 Helmholtz 方程和 Sommerfeld 辐
轴分别平行于矩形两边，将这两边的长度分别记为 射条件，因此根据微分方程的定解理论，只要两者在

L x 和 L y 。在单元区域内对 Green 函数的积分可用 某一边界上等价，那么它们在整个空间中的声场分
一个函数K(r, θ, ϕ)代替： 布都是等价的。
为计算展开系数 C nm ，在单元的外域任选一个
∫ +L x /2 ∫ +L y /2
′
′
K(r, θ, ϕ) = G(r, r )dS(r ), (6) 半径为 R 的人工边界球面。则该人工边界上的声场
−L x /2 −L y /2 分布为
∫ +L x /2 ∫ +L y /2
其中，(r, θ, ϕ)表示场点在坐标系的位置，r 为矩形单
′
′
p(R, θ R , ϕ R )= G(R, r )dS(r ),
元中心 ξ 到场点的距离，θ 为对应俯仰角，ϕ 为对应 −L x /2 −L y /2
方位角，r 为单元内部的场点。 (9)
′