Page 77 - 《应用声学》2024年第6期

第 43 卷 第 6 期 王微等： 多分量双曲调频信号解卷积广义参数化时频变换方法 1253

 ∫
S
R
˜s(t) = s r (t)Φ (t)Φ (t), 其中，φ(t) = F T (t)dt − ft。若 φ (t 0 ) = 0，其中

′

 ( ∫ )

 2
 R − j2π κ T (t)dt , t 0 = f 0 /M − f /(fM)，则φ(t)可以近似为
Φ (t) = exp

0
(5)
1
 S ( ) φ(t) ≈ φ(t 0 ) + φ (t 0 )(t − t 0 ) . (10)
2

Φ (t) = exp j2πtκ T (t w ) ,
′′

 2


 κ T (t) = F T (t) + C,
式(9)可以表示为
其中，t w 为当前时频分析的第 w 个时间窗中心， ∫ T [ ( )]
1
′′
S
R
g σ (t)是时域窗函数，∗表示共轭操作，Φ (t)和Φ (t) S t (f)= exp j2π φ(t 0 )+ φ (t 0 )(t − t 0 ) 2 dt
0 2
分别是时域旋转算子和时域平移算子，κ T (t) 是根 1
== e j2πφ(t 0 )
据信号形式设计的时域核函数，C 为任意常数。若 √ πφ (t 0 )
′′
F T (t)是s t (t)的瞬时频率函数，则式(1)可以表示为 ∫ √ πφ (t 0 )(T −t 0 )
′′
( ∫ ) e jµ 2 dµ, (11)
( t − T/2 ) × √
s t (t) = rect exp j2π F T (t)dt . (6) πφ (t 0 )(−t 0 )
′′
T
√
′′
R
结合式 (4)∼(6) 可以发现，Φ (t) 的作用是解调 其中，µ = πφ (t 0 )(t − t 0 )。由Fresnel积分近似有
S
频，Φ (t) 的作用是将信号搬移至真实的频率处。时 ∫ b  √ π/2(1 + j), a < 0 且 b > 0,

域GPTFT适合于各分量信号的瞬时频率函数之间 e jx 2 dx =
a  0, 其他.
是沿着频率轴平移的情况，对于式 (4) 中瞬时频率
(12)
函数沿着时间轴平移的多分量 HFM 信号来说，时
2
域GPTFT无法达到最佳的时频聚集性。然而，频域 可得 φ(t 0 ) = −f /(M) ln(f 0 /f) − f(f 0 /M −
0
2
2
2
GPTFT可以更好地描述这类信号，其变换定义为 f /(fM))，φ (t 0 ) = Mf /f ，代入式(11)得到
′′
0
0
∫
∞ ( )
˜
∗
G F (t, f w ) = S(f)g (f − f w ) e j2πft df, 1 exp j2πφ (t 0 ) + j π
σ
S t (f) = √
−∞ φ (t 0 ) 4
′′

 ˜ R S [ (
S(f) = S r (f)Γ (f)Γ (f),
 f 0 f 0 (
 = √ exp j 2π f 0 ln f − f

 ( ∫ ) f M M
R
Γ (f) = exp −j2π κ F (f)df , (7) )]
 ) π
 − (f 0 ln f 0 − f 0 ) +


 S j2πfκ F (f w ) 4
 Γ (f) = e , [ ( ) ]
f 0 f 0
其中，S r (f) 是 s r (t) 的频域表示，f w 表示当前分析 = √ exp j 2π (f 0 ln f − f) + φ 0 ,
f M M
的第 w 个频域窗的窗中心，g σ (f) 是频域窗函数， (13)
R
S
Γ (f) 和Γ (f) 分别是频域旋转算子和频域频移算
其中，φ 0 = π/2 − 2πf 0 /M(f 0 ln f 0 − f 0 )。
子，κ F (f) 是频域核函数。
从时域 GPTFT 核函数 κ T (t) 设计中可知，旋
类似于时域 GPTFT 设计核函数的方式，可以
转算子的作用是减去随自变量变化的相位部分，因
利用信号的频谱S r (f)推导κ F (f)。由式(4)可得
此可以得到
N
∑ ( ∫ )
S r (f)=S t (f) A i exp(−j2πfτ i )+R(f)+N(f), (8) R
Γ (f) = exp −j2π κ F (f)df
i=1
其中，S t (f)、R(f)、N(f) 分别是 s t (t)、R(t)、n(t) 的 [ ( f 0 ) ]
= exp −j2π (f 0 ln f − f) . (14)
频域表示。 M
接下来给出驻定相位法求取S t (f)的过程 [28] 。 进一步得到
∫
∞ ( )
S t (f) = rect((t − T/2)/T) f 0 f 0
κ F (f) = − 1 + C, (15)
−∞ M f
[ ∫ ]
× exp j2π F T (t)dt e −j2πft dt 其 中， C 为 任 意 常 数。 频 域 GPTFT 相 较 时 域
∫ T GPTFT 而言，对多分量 HFM 信号中不同时延的
== e j2πφ(t) dt, (9) 信号分量均能有较高的时频聚集性。
0