Page 78 - 《应用声学》2024年第6期

1254 2024 年 11 月

代入式(7)计算得到s t (t)的GPTFT结果为
3 D-GPTFT算法原理
G F,t (t, f w )
3.1 GPTFT的卷积模型 ∫ ∞
R
S
∗
= S t (f)Γ (f)Γ (f)g (f − f w ) e j2πft df
σ
根据傅里叶变换的时域卷积定理，式 (7) 可用 −∞
∫ f w +B σ /2 [ ( ) ]
卷积形式表示： = √ exp j 2π f 0 (f 0 ln f −f)+φ 0
f 0
f w −B σ /2 f M M
G F (t, f w ) [ ]
f 0
× exp − j2π (f 0 ln f − f)
]
R
S
[
= F −1 S r (f)Γ (f)Γ (f) g (f − f w ) M
∗
σ
[ ( ) ]
∫
∞ f 0 f 0 j2πft
R
S
= S r (f)Γ (f)Γ (f)g (f − f w )e j2πft df × exp j2π M − 1 f e df
∗
σ
−∞ f w
∫ f w +B σ /2 [ ( ( )) ]
]
[
S
R
= s r (t) ⊗ F −1 Γ (f)Γ (f)g (f − f w ) , (16) ≈ e jφ 0 γexp j2πf t+ f 0 f 0 − 1 df
∗
σ
f w −B σ /2 M f w
其中，F、F −1 分别代表傅里叶变换和反傅里叶变换 [ ( ( ))]
≈ B σ γe jφ 0 exp j2πf w t + f 0 f 0 − 1
操作。 M f w
将式(4)代入式(16)中有 ( ( f 0 ( f 0 )))
× sinc πB σ t + − 1 . (20)
M f w
G F (t, f w ) √
式 (20) 中，考虑到 f 0 /(f M) 与窄带时慢变化信号
( )
N
∑ √
= s t (t) ⊗ A i δ (t − τ i ) + R(t) + n(t) 的调制信号类似，因此 f 0 /(f M) 可近似为常数
i=1 γ。G F,t (t, f w ) 的包络近似于 sinc 函数，其主瓣宽度
[ R S ]
−1
∗
⊗ F Γ (f)Γ (f)g (f − f w )
σ 与频域窗函数宽度 B σ 成反比例关系。由式 (18) 可
[ ]
N
∑ 见多分量信号的 GPTFT 结果 G F (t, f w ) 是由多个
= A i δ (t − τ i ) ⊗ s t (t)⊗
不同幅度的单分量信号的 GPTFT 结果 G F,t (t, f w )
i=1
[ ] 线性叠加构成的。所以不论是单分量信号还是多分
S
R
F −1 Γ (f)Γ (f)g (f − f w ) + [R(t) + n(t)]
∗
σ
量信号，其GPTFT的时间分辨力受到窗函数限制。
[
]
S
R
∗
⊗ F −1 Γ (f)Γ (f)g (f − f w ) . (17)
σ
3.2 Lucy-Richardson解卷积算法原理
根据卷积的结合律性质，将式(17)简写为
窗函数带来的时频曲线展宽与图像中由点扩
[ ]
N
∑ 散函数 (Point spread function, PSF) 造成的图像
G F (t, f w ) = A i δ (t − τ i ) ⊗ G F,t (t, f w )
i=1 模糊相似，因此可以借鉴图像去模糊理论来减小
+ G F,R (t, f w ) + G F,n (t, f w ) , (18) 窗函数的影响。通过对 f w 处的输出函数 G F (t, f w )
在时域上执行去模糊操作，使其估计结果逼近
其中，G F,t (t, f w )、G F,R (t, f w )、G F,n (t, f w ) 分别是 ∑ N
A i δ (t − τ i )，从而提高频域 GPTFT 的时间
s t (t)、R(t)、n(t)的GPTFT结果。 i=1
分辨力。Lucy-Richardson 解卷积算法是图像去模
从式 (18) 中可以看出，s r (t) 的频域 GPTFT 在
糊的一种方法，它通过多次迭代的方式估计 PSF 与
f w 处的时域输出由三部分构成：s t (t) 在 f w 处的时
∑ N 原始图像之间的关系，来逐步恢复原始图像。
域输出与各信号分量的起始时刻 A i δ(t − τ i ) ∑ N
i=1 令 f(t) = A i δ (t − τ i )，将式 (18) 的卷积
所构成的脉冲响应的卷积、混响在f w 处的时域输出 i=1
模型写为
和噪声在f w 处的时域输出。

令 g σ (f) 为矩形窗函数，窗函数宽度为 B σ ，则  G F (t, f w ) = f(t) ⊗ G F,t (t, f w ) + N(t),
(21)
有  N(t) = G F,R (t, f w ) + G F,n (t, f w ) .

B σ B σ
1, f w − 6f 6f w + , 在较高信噪比情况下，可忽略 N(t) 部分的

2 2
g σ (f − f w )= (19) 影响。 由于 A i > 0 (i = 1, 2, · · · , N)， 所以有

0, 其他.

f(t) = |f(t)|。|G F (t, f w )|可近似表示为