Page 181 - 《应用声学》2025年第3期

第 44 卷 第 3 期 郭望等： 利用流固界面 Scholte 波的地层横波速度反演方法 715

ᒭႀ᛫᭧ x 其中，u和w 表示切向位移和法向位移，σ 和τ 表示
Z↼↽
ܦູ ืʹ  ଌஆ٨
Z↼↽ ⋯ ⋯ 法向应力和切向应力；矩阵 E m 和 F m 均为 4 × 4 矩
ڍʹ  阵，具体表达式见Zhang等 [15] 研究中的详细表述。
Z↼↽

ڍʹ ⋮ 由于相邻层间的传递性，故整个多层介质的位
m֓
Z↼m֓↽ 移和应力的传递形式可以表示为
ڍʹ m    
Z↼m↽
m⇁
u n−1 u n−2
ڍʹ ⋮    
n֓    
Z↼n֓↽  w n−1   w n−2 
   
= J n−1
ڍʹ n    
z  σ n−1   σ n−2 
   
τ n−1 τ n−2
图 1 流固水平多层介质模型
 
Fig. 1 Horizontal fluidsolid multilayer model u 1
 
 
 w 1 
在固体层中，纵波和横波在第 m 层 (1 < m < = J n−1 J n−2 · · · J m · · · J 1   , (6)
 
n)上的势函数：  σ 1 


 τ 1
ϕ m (ω) = (A m e + B m e )e ,
 ikp m z −ikp m z i(kx−ωt)
−1
其中，J m = F m E m ，下标1表示流固界面。
 ψ m (ω) = (C m e ikq m z + D m e −ikq m z )e i(kx−ωt) .
将式 (5) 代入式 (6)，得到第 n 层位移势函数系
(2)
数与流固界面值的关系：
   
半空间中满足远场辐射条件，无上行波：
A n u 1
   

   
ϕ n (ω) = (A n e )e ,  A n   w 1 
 ikp n z i(kx−ωt)
(3)   = H   , (7)
 ψ n (ω) = (C n e ikq n z )e i(kx−ωt) ,    
 C n
 σ 1


   
 [ 2 ] 1/2 C n τ 1
2
 p m = k − (ω/V P m ) ,

(4) 其中，H = E −1 J n−1 J n−2 · · · J 1 。
[ ] 1/2 n
 2
q m = k − (ω/V Sm ) , 考虑流固边界满足法向位移连续、法向应力连
 2
续和切向应力为零，即
其中，两组常系数 (A m ，B m ) 和(C m ，D m ) 分别与向
下和向上的波场有关，p m 和 q m 分别为纵波波数和 w = w , σ = σ , τ 1 + = 0, (8)
+
+
−
−
1
1
1
1
横波波数，V P m 和V Sm 为纵波速度和横波速度，i 为
其中，w 和 σ 分别为流体层下界面的法向位移和
−
−
1
1
虚数单位，k 为波传播方向的波数，ω 为角频率，时间 法向应力，w 、σ 和 τ 分别为最上层地层上界面
+
+
+
1
1
1
因子e −iωt 。 的法向位移、法向应力和切向应力。
根据势函数得到平面波传播过程中位移和应 式(7)结合流固耦合条件得到
力。第m层上界面可以表示为 
 A n = H 11 u 1 + H 12 w 1 + H 13 σ 1 ,

    


u m−1 A m + B m 

    A n = H 21 u 1 + H 22 w 1 + H 23 σ 1 ,
(9)
   
 w m−1   A m − B m   C n = H 31 u 1 + H 32 w 1 + H 33 σ 1 ,

    ,
= E m 
    

 σ m−1   C m − D m  
 C n = H 41 u 1 + H 42 w 1 + H 43 σ 1 .
   
τ m−1 C m + D m
进一步得到
   

u m A m + B m 
    (H 11 − H 21 ) u 1 + (H 12 − H 22 ) w 1


   

 w m   A m − B m   + (H 13 − H 23 ) σ 1 = 0,

    , (5)
= F m (10)
   
 σ m   C m − D m 

    (H 31 − H 41 ) u 1 + (H 32 − H 42 ) w 1



τ m C m + D m 
 + (H 33 − H 43 ) σ 1 = 0.