Page 96 - 《应用声学》2025年第3期

630 2025 年 5 月

态都会激发不同的量。每个状态对整体响应的影响 其中，ζ 是模态阻尼系数，定义为
量由状态中的因子 η 决定。通常位移可以通过以下 c i
ζ ni = ( ) (19)
方式描述： 1
2 ρh + ρ F h F + ρ f h f ω ni
3 ∞ 3
∑ ∑
u s (θ, t) = η ni (t)U sni (θ), (11) 和
i=1 n=0
1
其中，s 表示环坐标 (θ，3 或 3f)，U kni (θ) 表示 s 方向 F ni = ( )
1
上的法向模分量。正模分量由之前的自由响应解中 ρh + ρ F h F + ρ f h f N ni
3
已知，因此唯一需要求解的未知数是模态中的因子 ∫ 2π
∗
∗
η ni 。方程式(9)∼(10)可缩短为 × (q U θni + q U 3ni )adθ. (20)
3
θ
0
L k (u θ , u 3 , u 3f ) − c k ˙u k − ρh¨u k = −q k , (12) 因此模态参数中因子求解为
其中，L k 算子表示 k 方向的洛夫方程项，包括基础 η ni = Λ ni e j(ωt−φ ni ) . (21)
刚度项。设U kp 表示任意模式，其中p等于或不等于 F ∗
当 Λ ni = √ ni 和
n，将方程(11) 代入方程 (12)两边乘以 U kpi ，并在环 [ 2 ] 2 2
2
2
ω ni 1 − (ω/ω ni ) + 4ζ (ω/ω ni )
ni
的圆周长度上积分化解得到式(13)：
( )
∞ [ ( )
∑ 1 −1 2ζ ni (ω/ω ni )
ρh + ρ F h F + ρ f h f ¨ η ni + c k ˙η ni φ ni = tan 2 时，对于强制响应，和
3 1 − (ω/ω ni )
n=0
( ) ]
1
2 自由响应一样，假定自然模式的形式为
+ ρh + ρ F h F + ρ f h f w η ni
ni
3 
∫ 2π ∫ 2π  U 3ni (θ) = A ni cos nθ,


× U kni U kpi Rdθ = U kpi q k Rdθ. (13) 


0 0
U θni (θ) = B ni sin nθ, (22)
由于模的正交性，当n = p时，第一积分项不等 



于0，这导致了以下关于η ni 的二阶微分方程：  U 3fni (θ) = C ni sin nθ.

c k
2
¨ η ni + ( ) ˙η ni + ω η ni 这里，系数 A ni 、B ni 和 C ni 是位移幅度。求解
ni
1
ρh + ρ F h F + ρ f h f 方程(16)中的N ni ，
3
= F ni . (14) ∫ 2π 2 2 2
N ni = b (U + U + U )adθ
θni 3ni 3fni
当 0
2
= ε n πba(A 2 ni + B 2 ni + C + ni), (23)
1
F ni = ( )
1 其中，当 n = 0，∈ n = 2；当 n ̸= 0，∈ n = 1。F 可用
∗
ρh + ρ F h F + ρ f h f N ni ni
3
式 (24)表示：
∫ 2π
× (q θ U θni + q 3 U 3ni )adθ (15)
∗
0 F ni =
和 FA ni
2π 1
∫ ( ) .
N ni = (U 2 + U 2 + U 2 )adθ, (16) abπ(A 2 + B 2 2
ni
θni 3ni 3fni ρh + ρ F h F + ρ f h f ni ni + C )ε n
0 3
考虑到稳态谐波情况，外部负载可以写成： (24)
q k (θ, t) = q (θ)e −jwt . (17) 为了简化将
∗
k
1
模态中因子的二阶微分方程变为 m 总 = ρh + ρ F h F + ρ F h f , (25)
3
2
¨ η ni + 2ζ ni ω ni ˙η ni + ω η ni = F e jωt , (18) 现在，稳态运动u 3 、u θ 和u 3f 的解可以确定为
∗
ni ni