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第 37 卷 第 5 期 郭良浩等： 波导不变量误差对频域 β-warping 变换及浅海被动测距的影响 599

由式 (6)可以看出，频域 β-warping算子可以将 则式(11)可以重写为
接收信号自相关函数中每两号简正波的互相关项 ˆ
W w R 2 (f)
变为一个时域脉冲形式的信号，第m号、n号简正波
N N ( )
√ 2 ∑ ∑
互相关函数对应的脉冲时延为 = w (f) S(Cf − ˆ β A m Cf − ˆ β

′
)
1 −1/β n=1 m=1,
t smn = r s γ nm C , (7) m̸=n
2π ( − ˆ β ) ir s γ nm D −1/β f −q f q
× A ∗ n Cf e 0 . (13)
并且，t smn 随着声源距离的增大而线性增大。
q
在被动测距中，利用一个已知距离为 r g 的引 将f 在f 0 处泰勒展开，并保留一阶项，可得
q
q
导声源，对其接收信号自相关函数进行频域 β- f ≈ f + qf q−1 (f − f 0 ) . (14)
0 0
warping 变换，可得其 m 号、n 号简正波互相关函数
将式(14)代入式(13)可得
对应的脉冲时延为
ˆ
W w R 2 (f)
1 −1/β
t gmn = r g γ nm C . (8) N N
2π √ ∑ ∑
2
= w (f)|S(Cf − ˆ β )| · A m (Cf − ˆ β )
′
结合式(7)和式(8)可得目标声源距离为
n=1 m=1,
m̸=n
t smn
r s = r g . (9) × A (Cf − ˆ β )e i(1−q)r s γ nm D −1/β
∗
t gmn n
× e iqr s γ nm D −1/β f 0 −1 f . (15)
3 波导不变量误差对频域β-warping变换
及浅海被动测距的影响 此时，第m号、n号简正波互相关函数对应的脉
冲时延为
假设原始信号的有效频带范围为 [f 1 , f 2 ]，当 −1/β −1
[ β β ] t smn | ˆ β = qr s γ nm D f 0 /2π. (16)
β > 1 时，C 取 f 2 f , f 1 f 内的任何值都可以保
1 2
证warping变换重采样的频带包含原始信号的有效 对比式 (10) 和式 (16) 可以发现，当波导不变量
的估计值为真实值的 q 倍时，频域 β−warping 变换
频带范围。若取
后第 m 号、n 号简正波互相关函数对应的脉冲时延
β
C = Df (D = f 1 f 2 /f 0 , f 0 ∈ [f 1 , f 2 ]),
0 也变为波导不变量取真实值时的q 倍。
q
将其代入式 (7)，则第 m 号、n 号简正波互相关函数 应该注意的是，上述推导过程对f 进行了一阶
对应的脉冲时延为 泰勒展开近似，为了保证近似精度，要求式 (14) 中
1 −1/β −1 泰勒展开的二阶项远远小于一阶项，即
t smn | = r s γ nm D f . (10)
β 2π 0 |f − f 0 |
|q − 1| · max ≪ 1. (17)
当真实波导不变量值为 β(β > 1)，而估计得 2f 0
ˆ ˆ
到的波导不变量值为 β (β > 1) 时，此时的频域 如 果 取 f 0 为 信 号 的 中 心 频 率， 即 f 0 =
β-warping算子为w(f) = Cf − ˆ β ，取 (f 1 + f 2 )/2，则式(17)可以表示为
|q − 1| B
f 1 f 2 ˆ β ˆ β
C = f = Df , ≪ 1, (18)
0 0
f 0 4f 0
则对简正波互相关部分进行warping变换的结果为 其中，B = f 2 − f 1 为信号带宽。由此可见，式 (18)
所示的条件更加适合高频窄带信号。而 warping 变
ˆ
W w R 2 (f)
换通常更适合处理具有一定带宽的低频信号。在实
N N
( )
√ 2 ∑ ∑ − ˆ β 际应用中，声速剖面的宏观结构随不同海区和不同
= w (f) S(Cf − ˆ β A m Cf
′
)
n=1 m=1, 季节变化，其微观结构的具体数值 (变化较小) 与每
m̸=n
( ) −1/β − ˆ β/β ˆ β/β 日不同时刻的日照强度、时间长度等因素有关，从
× A ∗ Cf − ˆ β e ir s γ nm D f 0 f . (11)
n
而可以获得粗略的水体声速剖面。基于该声速剖面
若令 参数和该海区的海底底质参数，可以通过模型计算
β ˆ 获得一个比较合理的波导不变量估计值 (有一定的
= q, (12)
β 误差)，这时同样可以保证式(18)的条件成立。