Page 16 - 《应用声学》2020年第1期

12 2020 年 1 月

先，可以利用线性滑动理论来求取干岩石的弹性性 除式 (1) 外，裂缝岩石的等效弹性性质也可用
质 [50] ，进而可利用各向异性 Gassmann方程对岩石 其柔度矩阵表示如下：
进行饱和，从而求得饱和裂缝岩石在低频极限下的 sat sat sat
S (ω) = S b + Z (ω), (3)
等效弹性性质。相反，在高频极限下，流体没有充足
的时间在裂缝与背景介质之间进行流动从而导致 式 (3) 中，S sat (ω) 表示裂缝岩石随频率变化的柔度
裂缝中的流体与背景介质中的流体相互隔离。这种 矩阵；S b sat 表示饱和背景介质的柔度矩阵；Z sat (ω)
情况下，可以首先利用各向同性 Gassmann 方程计 表示随频率变化的裂缝柔度矩阵，其可表示如下：
算饱和背景介质的弹性性质，再利用线性滑动理论  0 0 0 0 0 0 
计算饱和背景介质中含干裂缝的岩石等效弹性性  
 0 Z sat (ω) 0 0 0 0 
质，最后利用各向异性 Gassmann 方程对裂缝进行  N 


 0 0 0 0 0 0 
饱和从而求取高频极限下饱和裂缝岩石的等效弹 Z sat (ω) =   , (4)


 0 0 0 Z T 0 0 
性性质。具体流程可参见文献[48]。  
 
0 0 0 0 0 0
 
1.2 裂缝岩石中间频率下等效弹性性质  
0 0 0 0 0 Z T
当频率在高低频极限之间时，岩石的等效弹性
式 (4) 中，Z T 为裂缝切向柔度，Z sat (ω) 为裂缝法向
性质随频率变化。为了描述这一变化规律，Krzikalla N
柔度，其随频率变化如下：
等 [51] 及 Galvin 等 [52] 提出岩石所有的弹性参数的
(
驰豫函数应相同，即岩石的等效弹性性质可表示 Z sat (ω) = Z sat + Z N,lf − Z sat ) f(ω), (5)
sat
N
N,hf
N,hf
如下：
其中，Z sat 与Z sat 分别代表低频和高频极限下裂
[ ( sat sat ) ] N,lf N,hf
1 1 c ij,hf − c ij,lf 缝的法向柔度，可由相应的岩石弹性参数算出 [49] 。
c sat = c sat 1 + c sat f (ω) ,
ij ij,hf ij,lf 对裂缝岩石的柔度矩阵求逆即可求出裂缝岩石的
i, j = 1, · · · , 6, (1) 等效刚度矩阵。
式 (1) 中，c sat 为裂缝岩石的等效弹性系数；c sat 与 利用以上两种方法求取岩石的等效弹性性质
ij ij,lf
c sat 为低频与高频极限下岩石的弹性性质；ω 为地 后，即可计算地震波的速度频散与能量衰减，及频变
ij,hf
震波的角频率；f(ω)为驰豫函数，其形式如下： 各向异性特征 [49] 。需要注意的是，这里地震波的能
量衰减采用品质因子的倒数 (1/Q) 表示，即单位波
( √ )
/ ωτ
f (ω) = 1 1 − ς + ς 1 − i , (2) 长内能量的衰减幅度表示，其与单位距离内能量的
ς 2
衰减幅度 (地震波数的虚部) 不同，其不随频率单调
其中，ζ 与 τ 决定了驰豫函数的形态，对于不同
增大 (由于单位距离内的波数随频率增大，因而单
的裂缝形态，ζ 与 τ 的表达式不同，具体可参见文
位距离内的衰减仍然随频率增大)。利用品质因子
献 [48–49]。
倒数易于分析地震波频散衰减的特征频率 (即品质
对于单一驰豫函数的假设，理论上可解释如下：
因子倒数峰值对应的频率)，且在地震数据的处理与
当地震波入射到裂缝表面时，裂缝与背景介质之间
解释中经常应用，故本文采取品质因子倒数表示地
发生流体运动，其可看作一部分地震波能量转化为
震波衰减，而不采用地震波数的虚部表示衰减。
Biot慢波能量。当地震波频率远小于Biot特征频率
时，慢波速度通常比入射波小两到三个数量级。根 1.3 数值算例
据 Snell 定律，慢波的反射或透射角度将几乎垂直 为了分析裂缝厚度对地震波频散衰减的影响
于裂缝平面，近似与入射波的入射角度无关。这意 与相应的频变各向异性特征，利用以上模型计算
味着对于任意传播的地震波，流体总是沿着垂直 如下岩石中的地震响应。假设岩石背景介质渗透
于裂缝平面的方向流动。因此，对于所有的弹性系 率较低为 0.1 mD，孔隙度为 0.1，岩石颗粒为石英，
数，其应具有相同的驰豫函数。这一现象同样被数 其体积模量为 37 GPa，剪切模量为 44 GPa，利用
值模拟所证实，如Krzikall 等 [51] 、Lambert 等 [53] 及 Krief 经验关系 [55] 可求得对应干燥背景介质体积
Rubino等 [54] 所做的研究。 模量为 26 GPa，剪切模量为 31 GPa [16] 。裂缝长度