Page 18 - 《应用声学》2020年第1期

14 2020 年 1 月

0.15 频变各向异性外，地震波在裂缝表面亦会发生弹性
ε
δ 散射，从而引起地震波的散射频散与衰减。这种现
0.10 象在碳酸盐岩等裂缝储层中较为常见。因此，需要
ᤴएՊՔपভԠ஝ 0.05 0 建立相应的理论模型对其进行表征。由于前人建立

的模型大部分假设裂缝厚度无限小，故无法考察裂

-0.05 缝厚度对散射的影响。因此，本文作者及合作者建
[56]
立了有限裂缝厚度情况下纵波的散射模型
。由
于大裂缝一般侧向延伸较长，故模型仅考虑二维裂
-0.10
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4
缝的情况，即裂缝在纵波入射平面内具有有限尺度，
ᮠဋ/Hz
(a) ᤴएՊՔपভԠ஝ 而在垂直于纵波入射平面的方向上无限延伸，裂缝
随机分布在各向同性弹性背景介质中，如图5所示。
10 -1
ε Q
X 
δ Q
ᛰѓՊՔपভԠ஝ 10 -2 p  β x  o a x 

-3
10
O
p  X 
u 0
A
θ
10 -4
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4
图 5 纵波散射模型 [56]
ᮠဋ/Hz
(b) ᛰѓՊՔपভԠ஝ Fig. 5 Scattering model for P-waves [56]
图 4 速度各向异性参数与衰减各向异性参数随频
率的变化 [49] 2.1 模型推导
Fig. 4 Variations of velocity and attenuation 假设入射纵波位移场具有如下形式：
anisotropy parameters with frequency [49]
0
u = A 0 e ik p X 1 sin θ+ik p X 2 cos θ (sin θ, cos θ), (6)
由图 4可看出，对于速度各向异性参数，其随频 A
率的增大而减小，ε 逐渐减小到零，表明垂直与平行 式 (6) 中，A 0 表示入射场振幅，k p 代表入射纵波波
于裂缝表面的纵波速度趋于相等，而 δ 由正值逐渐 数，θ 代表入射角。
变为负值，表明小入射角度下，地震波随入射角变化 由于纵波在裂缝表面发生散射，散射场与入射
规律出现反转 (由逐渐增大变为逐渐减小)。对于衰 场形成一个平均位移场，其可表示如下：
减各向异性参数，其在低频和高频极限下最小，而在
⟨u A ⟩ = A e ik p X 1 sin θ+ik p (cos θ+κ/k p )X 2
特征频率处最大，表明衰减各向异性随频率先增大
后减小。比较理论预测值 (虚线与星号) 与数值模拟 × (sin θ, cos θ + κ/k p ) , (7)
结果 (实线) 可看出两者吻合良好，从而验证了理论
式 (7) 中，A 代表平均场的初始振幅，κ 表示散射对
模型的正确性。
平均位移场的影响，利用 κ 即可求取等效纵波波数，
进而获得等效纵波速度与衰减，故称κ为散射因子。
2 散射模型
为了求取散射频散与衰减，必须求取散射因子

当裂缝尺度与地震波长相近时，除了裂缝与背 κ，因此利用裂缝表面两侧法向与切向应力连续的
景介质之间的流体运动引起的地震波频散衰减与 边界条件，可建立如下积分方程 [56] ：

a iωη D 1 (x 1 )
∫
D 1 (ζ 1 ) T 121 (x 1 , 0|ζ 1 , 0) dζ 1 − e ik p x 1 sin θ = , − a < x 1 < a, (8)
µ β
−a
∫
a K f D 2 (x 1 )
D 2 (ζ 1 ) T 222 (x 1 , 0|ζ 1 , 0) dζ 1 − e ik p x 1 sin θ = − , − a < x 1 < a, (9)
−a µ β