Page 151 - 《应用声学》2020年第2期

第 39 卷 第 2 期 张礼华等： 三维微机电系统声发射传感器设计及性能分析 309

算传感单元的表面位移量和输出电压值。将z 方向
响应传感单元简化为单自由度系统 (Single degree
of freedom, SDOF)，可以简化计算过程，如图 5 所
4 mm 示，上极板简化为质量块，由弹簧悬挂，通过施加电
压，产生可变电容，引起输出电压变化。

y
ुዔ
4 mm
x
᠏᧚ڱ
图 4 z 方向响应传感单元的 CAD 布局
ႃࠔ
Fig. 4 CAD layout of z-direction response sensing unit
2.3 阻尼和灵敏度计算
图 5 单自由度系统示意图
在本研究中，传感单元上下极板之间的距离为
Fig. 5 Schematic diagram of SDOF system
1.25 µm，此时极板间空气压缩所产生的阻尼不可
忽略，同时挤压膜阻尼的大小也影响着传感器的灵 假定u(t)的形式为
敏度。
u(t) = e jωt , (6)
挤压膜阻尼的阻尼比计算公式 [12] 如下：
( 2 3 ) 建立SDOF系统的运动方程为
6ab b
+ ηn
2
h 3 g 3 d x(t) dx(t) 2 jωt
ζ = √ , (3) m + c + kx(t) = mω e , (7)
2 km dt 2 dt
式 (3) 中，a 是极板厚度，h 是蚀刻孔的长度，n 是蚀 其中，m 是传感单元上极板的质量，c 是阻尼常数，t
刻孔的宽度，b 是两个蚀刻孔横向间距，η 是空气黏 是时间，ω 是声波的频率。
度，k 是刚度系数，m是极板质量，ζ 是阻尼比。 单自由度系统中与挤压膜阻尼效应相关的品
单个传感单元的阻尼力可以利用雷诺流体方 质因数Q [14] 为
程计算。研究表明 [13] ，圆板谐振传感单元在频率低 m
Q = ω 0 , (8)
于 1 MHz 的情况下，气体视为不可压缩，并考虑圆 c
板在 z 方向的对称性，间隙气体的控制方程可用雷 其中，ω 0 是传感单元的谐振频率。
诺方程表达如下： 将式(8)代入式(7)，求解得
( )
1 ∂ ∂P 12η ˙g mω 2 jωt
R = , (4) x(t) = e
R ∂R ∂R g 3 −mω + jωc + k
2
式(4)中，R 是圆板的半径，P 是气体压力。 ω 2 jωt
= 2 e , (9)
2
对于半径为 R 的圆板在周围完全开放的环境 −ω + jωω 0 /Q + ω 0
中沿着 z 方向做上下振动 [13] ，建立边界条件，最终 其中，x(t)和V out (t)之间的关系为
可得阻尼力的表达式如式(5)： V bias C 0
V out (t) = x(t), (10)
∫ g C 0 + C p1
b i
F = 2π PRdR = c˙g, (5)
式(10)中，C 0 是传感单元的电容值，C p1 是传感单元
b 0
式 (5) 中，F 是作用在 z 方向的阻尼力，b 0 是圆柱体 的寄生电容 (在理想状态下可以忽略不计)，V out (t)
的外半径，b 1 是圆柱体的内半径 (方形蚀刻孔替换 是输出电压，V bias 是偏置电压。
为中心圆形通气孔的圆柱体，空气在内半径为 b 1 的 将式(9)代入式(10)得到输出电压为式(11)：
中心圆形通气孔外半径为b 0 的圆柱体内运动)。 V bias C 0 ω 2 jωt
V out (t) = 2 2 e .
传感单元谐振点处的灵敏度是动态表面位移 g C 0 + C p1 −ω + jωω 0 /Q + ω 0
u(t) 和传感器输出电压 V out (t) 的比值，因此需要计 (11)