Page 109 - 《应用声学》2023年第6期

第 42 卷 第 6 期 许志强等： 融合插值点优化的多项式结构宽带波束形成器设计方法 1219

H
以上的分析表明，现有的多项式结构波束形成 { ∂g(ψ, f, θ) [ ∂g(ψ, f, θ) ] }
T
T
= w (f) + w (f)
器设计存在主瓣指向偏差，且指向偏差最大的地方 ∂θ ∂θ θ=ψ
集中于调向范围的边缘，对应的 DI 一般也是最差 [ ]
T
的。特别对于低阶的多项式结构，问题更为突出。虽 = 2Re w (f) ∂g(ψ, f, θ)
∂θ θ=ψ
然增大多项式的阶数可以改善波束形成器性能，但
{ [ ]}
在实际应用中，增大多项式阶数意味着滤波器个数 T ∂d(f, θ)
= 2Re w (f) ⊗s(D) = 0, (10)
增加，硬件实现复杂度相应变大。为解决这一问题， ∂θ θ=ψ
下文我们将提出基于插值点优化的多项式结构波 式 (10) 中，Re[·] 代表取实部。 为表示方便， 令
束形成器设计方法。 ∂d(f, θ)/∂θ| θ=ψ , h(f, ψ)，根据式 (2) 中 d(f, θ) 的
定义，有
3 基于插值点优化的多项式结构波束形成 [ −j2πfd 0 cos ψ/c
器设计 h(f, ψ) = (j2πfd 0 sin ψ/c)e , · · · ,
]
(j2πfd K−1 sin ψ/c)e −j2πfd K−1 cos ψ/c T .
3.1 空间导数约束的引入
则由式 (10)，θ = ψ 处的空间导数约束条件可
通过第 2 节的分析可知，由于有限次多项式插
表示为
值所带来的截断误差，将导致多项式结构宽带波束
{ T }
Re w (f) [h(f, ψ) ⊗ s(D)] = 0. (11)
形成器的主瓣指向出现偏差，进而会造成阵列的DI
下降。针对这一问题，本节引入阵列响应的空间导 3.2 优化问题的构建
数约束，以减小多项式结构宽带波束形成器的主瓣 为减小主瓣指向偏差，在多项式结构宽带波束
指向偏差。注意到，对于给定的阵列响应，其主瓣指 形成器优化设计问题中，引入上述插值点处的空间
向位置对应于阵列响应幅值的最大值点。因此，根 导数约束。相应的优化问题可以表述为
据式 (1)，若主瓣实际指向与期望指向一致，那么阵 I−1 L−1
∑ ∑ 2
列响应幅值平方关于角度 θ 的空间导数在期望角度 min |P(ψ i , f q , θ l )−P d (ψ i , f q , θ l )| , (12a)
w(f q )
ψ 上应当为零，即在θ = ψ 处满足如下条件：  i=0 l=0
T
 w (f q )g(ψ i , f q , ψ i ) = 1,

2 
∂ |P(ψ, f, θ)| 

= 0. (8) 
∂θ  i = 0, · · · , I − 1, (12b)

θ=ψ 


 T 2
 |w (f q )g(ψ i , f q , ψ i )|
考虑到式(2)，有  2 > γ,

T
s.t. ∥w (f q ) [I K ⊗ s(D)]∥
2 T 2 

∂ |P(ψ, f, θ)| ∂ w (f)g(ψ, f, θ)  i = 0, · · · , I − 1, (12c)

= 


∂θ ∂θ  { T }


H
T
∗
∂[w (f)g(ψ, f, θ)g (ψ, f, θ)w (f)]  Re w (f q ) [h(f q , ψ i ) ⊗ s(D)] = 0,


= 

∂θ  i = 0, I − 1. (12d)
∂g(ψ, f, θ) H
T
∗
= w (f) g (ψ, f, θ)w (f) 需要说明的是，优化问题 (12) 中，对于施加的
∂θ
H
∂g (ψ, f, θ) 插值点处的空间导数约束式 (12d)，仅约束了位于
T
∗
+ w (f)g(ψ, f, θ) w (f), (9)
∂θ 调向范围边缘的插值点，即ψ i (i = 0, I − 1)，而非全
H
式(9)中，[·] 代表共轭转置，[·] 代表共轭。将式(9) 部的插值点。主要原因包括两个方面：(1) 由上文分
∗
代入式(8)，并考虑到期望方向上需满足阵列响应的 析可知，调向范围边缘的插值点对应的主瓣指向偏
T
无失真约束条件 w (f)g(ψ, f, ψ)=1，式 (8) 可进一 差较大，而中间的插值点对应的主瓣指向偏差相对
步简化为 较小。因此，约束边缘处的插值点可有效抑制整个
2 调向范围内的主瓣指向误差峰值。(2) 研究发现，当
∂|P(ψ, f, θ)|

∂θ 约束全部的插值点时，将导致阵列的DI有较大的损
θ=ψ
[ H ] 失，而仅约束调向范围边缘的插值点则可以取得较
∂g(ψ, f, θ) ∂g (ψ, f, θ)
T
∗
= w (f) + w (f)
∂θ ∂θ 好的折中。
θ=ψ